0) Идеалы булевых алгебр и гомоморфизмы

Идеалом булевой алгебры В наз-ся ее подмнож-во, которое 1) включает в себя 0, 2) замкнуто относ-но объединения, 3) вместе с каждым своим эл-том а содержит все эл-ты из В, содержащиеся в а. Напр-р, нижний конус любого эл-та яв-ся идеалом. Это - главный идеал, порожденный эл-том а. Все идеалы булевой алгебры В будут главными тогда и только тогда, когда В конечна. Идеалы булевой алгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с ее конгруэнциями. Идеалы булевой алгебры В образуют относ-но теоретико-множественного включения полную дистрибутивную решетку, изоморфную решетке Con В конгруэнции на В. Идеал U булевой алгебры А наз-ся макс-ым, если он не содержится в большем идеале, отличном от А. Алгебра А наз-ся простой, если в ней нет ненулевых собственных идеалов. А наз-ся полупростой, если пересечение всех макс-ых идеалов из А совпадает с нулем. Все идеалы булевой алгебры яв-ся главными тогда и только тогда, когда она конечна. Каждый идеал булевой алгебры содержится в некотором макс-ом идеале Подмножество U булевой алгебры А яв-ся идеалом этой алгебры тогда и только тогда, когда U есть идеал соответствующего булева кольца. Каждый идеал U булевой алгебры А определяет конгруэнцию.Булева алгебра В конечна тогда и только тогда, когда каждый ее идеал как В-модуль инъективен в категории всех В-модулей, и полна в том и только том случае, когда все ее главные идеалы инъективны в этой категории. Модуль 5 над булевой алгеброй В инъективен в категории В-модулей тогда и только тогда, когда S - полная бесконечно дистрибутивная решетка. Если В - полная булева алгебра, то каждый проективный В-модуль с единицей S также будет решеткой указанного вида. Всякий счетно порожденный идеал булевой алгебры В будет проективным объектом в категории В-модулей. Гомоморфизмы булевых алгебр - это, то же самое, что и гомоморфизмы соответствующих булевых колец. Поэтому конгруэнцию булевой алгебры можно задать идеалом булева кольца. Гомоморфизм булевых алгебр или булев гомоморфизм - это отображение одной булевой алгебры в другую, сохраняющее все пять булевых операций. Гомоморфизмы булевой алгебры в себя называются ее эндоморфизмами. Эндоморфизмы булевой алгебры В образуют моноид, нейтральным элементом которого является тождественное преобразование множества В. Каждый гомоморфизм булевых алгебр является одновременно гомоморфизмом соответствующих булевых колец, и наоборот. Гомоморфизмы булевой алгебры находятся во взаимно-однозначном соответствии с отношениями конгруэнтности на этой алгебре. Множество X порождающих булевой алгебры В называется свободным, если любое отображение р: Х - - С в произвольную булеву алгебру С можно продолжить до гомоморфизма булевой алгебры. В этом случае В называется свободной над X. Свободная булева алгебра - это булева алгебра, имеющая свободное множество порождающих. Полная булева алгебра В называется свободной полной булевой алгеброй над множеством X своих полных порождающих, если каждое отображение р: Х - - С в произвольную полную булеву алгебру С можно продолжить до полного гомоморфизма булевой алгебры