26) Теорема о примитивном элементе.

Th: Любое составное алгебраическое расширение К=P и яв-ся простым, т. е. сущ-ет такое число , что К=Р( ) Док-во: Докажем для случая S=2, K=P( )( ). Пусть - минимальные над Р многочлены чисел и (они алгебраичны) и пусть корни и корни . Т.к. и неприводимы, то среди корней , так же как и среди нет одинаковых. Рассмотрим элементы (*) , , ( ). Число этих элементов равно n(m-1) число эл-тов конечно. . Положим (т. е. ). Т. к. с ни одному из чисел (*), то (1) , , . . Рассмотрим . Это многочлен над общий корень с . Из (1) = никаких других общих корней они не имеют.Ибо, если , по -корень = , но как известно НОД 2-х многочленов над некоторым полем также является многочленом над этим же полем= . В силу минимальности расширения = . Сопоставляя(***) и (**) и учитывая что , имеем что , ч. т. д.

27) Булевы алгебры

Опр:Булевой алгеброй наз-ся непустое множ-во В с двумя бинарными операциями ⋀(аналог конъюнкции),⋁(аналог дизъюнкции),унарной операцией ‾ (аналог отрицания) и двумя выделенными эл-тами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества В верны следующие аксиомы

a⋀b=b⋀a a⋁b=b⋁a- коммутативность

a⋀(b⋀c)=(a⋀b) ⋀c a⋁ (b⋁c)=(a⋁b) ⋁c- ассоциативность

a⋀(a⋁b)=a a ⋁(a⋀b)=a- законы поглощения

a⋀(b⋁c)=(a⋀b)⋁(a⋀с) a⋁(b⋀c)=(a⋁b)⋀(a⋁с)- дистрибутивность

a⋀ а=0 a⋁ а =1- дополнительность

Некоторые свойства:Из аксиом видно, что наим.эл-том яв-ся 0, наиб.яв-ся 1, а дополнение¬a любого эл-та a однозначно определено. Для всех a и b из В верны также следующие рав-ва: a⋁a=a, a⋀a=a, a⋁0=a, a⋀1=a, a⋁1=1, a⋀0=0, 0=1, 1=0 дополнение 0 есть 1 и наоборот⌝(a⋁b)=⌝a⋀⌝ b , ⌝(a⋀b)=⌝a⋁⌝ b.Законы де Моргана: ⌝⌝а=а - инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.

Основные тождества

1) коммутативность, переместительность:a⋁b=b⋁a; a⋀b=b⋀a , 2) ассоциативность, сочетательность a⋁ (b⋁c)=(a⋁b) ⋁c a⋀(b⋀c)=(a⋀b) ⋀c, конъюнкция относительно дизъюнкции : a⋁(b⋀c)=(a⋁b)⋀(a⋁с) , 3) дистрибутивность, распределительность: дизъюнкция относительно конъюнкции :a⋀(b⋁c)=(a⋀b)⋁(a⋀с), 4) комплеменость, дополнительность: a⋁ а =1 a⋀ а=0, 5) Законы де Моргана: ⌝(a⋁b)=⌝a⋀⌝ b ⌝(a⋀b)=⌝a⋁⌝ b, 6) Законы поглощения:a⋁ (a⋀b)=a a⋀(a⋁b)=a, 7) Блейка-Порецского: a⋁(⌝a⋀b)=a⋁b а⋀(⌝a⋁b)=a⋀b , 8) Идемпотентность: a⋁a=a , a⋀a=a, 9) Инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания:⌝⌝а=а a⋁0=a a⋀1=a, 10)св-ва констант:a⋁1=1;a⋀0=0,допол-ие 0 есть1 0=1;допол-ие 1 есть 0  1=0, 11) Склеивание : (a⋁b)⋀(⌝а⋁b)=b (a⋀b)⋁(⌝а⋀b)=b

Примеры

28) Булевы алгебры и булевы кольца.

1-ая Часть вопроса в 27 вопросе (для чайников :D)

Кольцо наз-ся булевым,если . Утв:Если кольцо булево,то оно коммутативно. Док-ко: Рассмотрим ( : С одной стороны С другой стороны . x-y=x+y-xy-yx; -2y=-xy-yx; xy=-yx=yx (чтд) (K,+,*,0,1,=) надо получить (Ζ, )

выполняется в силу доказанного выше

т.к.К-кольцо

т.к.К-кольцо

x⋏ =0

x(1+x)=x+x²=x+x=0

x⋎

x(1+x)=x+1+x=x+x²+x+x+1=0+x+x+1=1

29) Безатомные булевы алгебры. Безатомные булевы алгебры. Опр. Отличный от 0 эл-т х булевой алгебры <B,{1,0,+,∗, }> наз-ся атомом, если для любого эл-та y из В, отличного от 0, справедлива альтернатива: либо x∗y=x, либо x∗y=0. Критерий атома. Эл-т х яв-ся атомом булевой алгебры тогда и только тогда, когда он яв-ся миним.ненулевым эл-том относ-но индуцированного частичного порядка.

1) Обозначим через М совокупность всех множеств вида

((a₁;b₁)(a₂;b₂)…(a_m;b_m))ℚ , где, 0a₁b₁a₂b₂…a_mb_m1 и a_i,b_i ℚ.Очевидно, что множество М с операциями  ,  и операцией дополнения до множества (0;1) ℚ является булевой алгеброй, в которой 0 выступает как пустое множество ∅, а в качестве 1 – множество (0;1) ℚ. Таким образом, у этой алгебры нет атомов. 2)(пример из классной работы)

a=[a1;b1)[a2;b2) =[0,a1)[b1;a2)(b2;∞)

𝔇₁+ - безатомная