22) Лемма об отсутствии алгебр с делением размерности 3 над полем вещественных чисел

Не существует алгебры над полем вещественных чисел размерности 3. Допустим противное.

(К,+,*,=) алгебра над полем вещественных чисел размерности 3{1,α,β} базис К , {1,α,β} – линейно независимы.К={а+в*α+с*β|a,b,c R}.Докажем, что 1,α,β, α*β линейно независимы

,α– корень многочлена. ,β-корень многочлена.p,q,s,r R

Допустим, что α*β R (1,α,β).α,β= а+в*α+с*β , a,b,c R. . . . .-

.{1,α,β} – линейно независимы

A dim3 не

23) Лемма об изоморфизме алгебры с делением размерности 4 над полем вещественных чисел алгебре кватернионов.

Всякая конечномерная ассоциативная алгебра над полем вещ-ых чисел имеет размерность 1____вещ-ые числа. 2____комплексные числа. 4____кратернионы. И др ассоциативных алгебр над R нет. а ассоциативная алгебра над R разм-ти 4. {1, }

a={ }. . .

a k _. а

x= однозначно раскладывается по базису {1,i,j,k} y=

≠ . Если бы оказалось

= . (a-a’)+( b-b’)

1,

=

x=y ; d=d’. x+y=(a+a’)+( b+b’)

(a+a’)+( b+b’)

*

24) Лемма об отсутствии ассоциативных алгебр с делением над полем вещественных чисел размерности ≥5.

Допустим, что сущ-ет ассоциативная алгебра с делением на R размерности ≥5

Линейнонезависимые элементы над R:

{1,a,c,ac,d}

a²=c²=d²=-1; ac+ca=0. Найдем u∈A u=a+d ,∈R

u²=-1, ua+au=0 {1,a,u,au} – лин. Независима. =c+u ,R ²=-1, c+c=0, a²=u²=-1

{1,c,,c} – лин. Независима. ≠0. (с)²=сс=-с²²=-(-1)(-1)=-1

a(c)=ac(c+u)=ac²+acu=-a+acu.

(c)a=c(c+u)a=c²a+cua=-a+cua

acu=(-ca)u=-cau=cua. Сл-но: a(c)=(c)a. a=c или a=-c

a=±c(c+u)=  ∓±cu=∓±c(a+d)=|-±cd±cd. ac=∓d±cdc±cdc

ac=-ca=-c∓c∓d. {1,a,c,ac,d}

противоречие линейной независимости.

25)Трансцендентные и алгебраические расширения полей

Расшире́ние по́ля K— поле E, содержащее данное поле K в качестве подполя E  K . Исследование расширений является основной задачей теории полей. Алгебраическое расширение поля-это расширение при помощи одного элемента, являющего корней какого-нибудь многочлена над полем К.(Кс(α))

Теорема.Если α-алгебраический элемент,над полем К и f(α)=0(многочлен минимальной степени коэффициенты которого из К), тогда К(α)=({g(α)ǀdeg g(x)<deg f(x)},+,*,=). Доказательство. 1)deg (g₁(α)+g₂(α))<deg f

2)Пусть g₁(х)* g₂(х)=f(x)g(x)+r(x)

g₁(α)*g₂(α))=f(α)g(α)+r(α)=r(α) g₁(α)*g₂(α) K(α)

НОД(g(х),f(x))=1

g(x)*u(x)+f(x)*v(x)=1

g(α)*u(α)+f(α)*v(α)=1

u(α)= =(g(α))^-1

Пример

Q-поле рациональных чисел,f(x)=x³+2x²+4x+1, и α такой,что f(α)=0

f(1) 0 f(-1) 0

Тогда Q(α)=<{a₀α²+a₁α+a₂ ǀ a₀,a₁,a₂ Q},+,-,=>

Трансцендентные расширения полей- это расширение при помощи одного элемента а, не являющейся корнем ни какого многочлена, коэффициенты которого принадлежат К₁ [K₂=K₁ (a)]

Теорема. Если α- трансцендентное число над К₁, то К₁(α)= – будет наименьшим полем содержащим α и К₁

К₁(α)= { ǀf(x),g(x) K₁(x)}, g(x) 0

+ =

* = =0, ^-1 =