17) Алгебра кватернионов
<
K,+,*,0,1,=
˃,K={
.
ij=k,
ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,
ik=-j,ij≠ji
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18)
Теорема Веддерберна о коммутативности
конечных тел.
Th:
Всякое конечное тело коммутативно.
Док-во:
Допустим противное,
.
=
Пусть
,
где d
делитель n
+
19) Круговые многочлены.
Круговой
многочлен — многочлен имеющий
вид Фn(x)=
,
где
представляет
собой
корень
степени n из
единицы и произведение берётся по всем
натуральным числам k, меньшим n,
и взаимно простых с n.
Круговой
многочлен удовлетворяет соотношению
,
где произведение берется по всем
положительным делителям d числа n,
включая единицу и само n.
xn-1=x-1+
, где
d
делитель
n.
Если n=p – простое число и поле имеет характеристику 0, то
Фp(x)=
=xp-1+xp-2+…+x+1
Коэффициенты кругового многочлена являются целыми числами.
Примеры.(выбираем сами какие писать)
Ф1(q)=q-1
Ф2(q)=q+1
Ф3(q)=q2+q+1
Ф4(q)=q2+1
Ф7(q)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1 (случай n=p)
Ф8(q)=x4+1
Ф12(q)=(x12-1)(x6-1)-1(x4-1)-1(x3-1)0(x2-1)*(x-1)0=
=x4-x2+1
20)Теорема
Фробениуса о конечномерных алгебрах
с делением над полем вещественных
чисел.
Th.Всякая
конечномерная,ассоциативная алгебра
на полем вещественных чисел изоморфна
либо полю (R,+,*,=),
либо полю (C,+,*,=),либо
полю (K,+,*,=),либо
полю квантернионов и имеют размерность:
1-вещественные числа, 2-комплексные
чмсла,4-квантерионы и других ассоциативных
алгебр над R нет.
Лемма:Не
сущ-ет ассоциативной алгебры над R
размерности 3. {1,
}
базис над R.
=({1,
})={
}
C.
=({1,
})={
}
C.
dim(a1+a2)=
dim(a1)+
dim(a2)=
dim(a1
a2)
3 2 2 1
Z
Пусть
;
-
a
a+b
Итак
-
Если
0=1+b
21) Лемма и конечномерных алгебрах с делением размерности не большей 2 над полем вещественных чисел.
Допустим
противное. (K,+,*,=)
алгебра над R
размерности 3.
базис К. К=
.
-
линейно независимы. Докажем, что
линейно независимы.
.
.
Допустим, что
).
.
.(1,
-
линейно независимы.
.
.
.
A
dim
3
,
ч. т. д.