14). Симметрическая группа. Знакопеременная группа.

Группа всех перестановок n элементов с операцией композиции (т.е. умножением) ⃘ наз-ся симметрической группой перестановок и обознается S_n .

Нейтральным элементом в симметрической группе яв-ся тождественная перестановка , определяемая как тождественное отображение: .

Теорема. Порядок симметрической группы перестановок S_n равен n!, т.е. |S_n|=n!

Рассмотрим симметрическую группу перестановок S₃.

π₁=e=(123)=(1)(2)(3) – нейтральный элемент ( единица группы);

π₂=(132)=(1)(23)

π₃=(321)=(13)(2)

π₄=(213)=(12)(3)

π₅=(231)=(123)

π₆=(231)=(132)

Порядок группы |S₃|=3!=6

Знакопеременной подгруппой подстановок степени n (обозн. A_n) называется подгруппа симметрической группы S_n степени n, содержащая только чётные перестановки.

Порядок знакопеременной группы равен: |A_n|=n!/2

Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: [S_n;S_n]=A_n .

15) Группа невырожденных матриц n-ого порядка и ее подгруппы

Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица наз-ся вырожденной. Множество квадратных невырожденных матриц n-го порядка относительно операции умножения матриц образует некоммутативную мультипликативную группу . В этой группе нейтральным элементом относительно умножения матриц яв-ся единичная матрица порядка n, а симметричным для каждого элемента относительно операции умножения матриц является обратная матрица

Для квадратной матрицы M над полем К невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

- M обратима, то есть существует обратная матрица;

- строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;

- элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу M можно привести к единичной матрице;

- ранг матрицы равен её размерности.

Совокупность всех невырожденных матриц порядка n образует группу — полную линейную группу, роль групповой операции в которой играет обычное умножение матриц. Обычно обозначается GL(n). Если требуется явно указать, какому полю K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут :GL(n,K).

Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка n обозначается GL(n,R), а если комплексные числа, то GL(n,C).

Матрица порядка n заведомо невырождена, если это:

- диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу D(n,K));

- верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу T(n,K));

- нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;

унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу UT(n,K)).

16) Понятия кольца и поля.

(K,+,*,-)- кольцо. . . . . . . . Кольцо ассоциативно, если Кольцо коммутативно, если . (K,+,*,=)- поле, если (K,+,=)- абелева группа, ( . . Примеры: ( . (T,+,*)- коммутативное, не ассоциативное. (Q,+,*,=), (R,+,*,=), (C,+,*,=)