6) Коммутант группы. Критерий коммутативности фактор-группы.

={[a,b]|a,b -подгруппа порожденная всеми коммутаторами G.

[ ]…[ ] .h=[ ]…[ ]. = = =[ …[ ]. ⊲ G.

Док-во:Пусть h , z G. = = … .Т.к. . =[ ]…[ ]-лежит в ⊲ . Беря коммутант от коммутанта и т. д., получим убывающую цепочку нормальных подгр. G , называемая рядом коммутантов группы G.

Группа, образованная классами смежности группы G по нормальной подгруппе H, наз-ся фактор-группой G по H и обозначается G/H. Показать, что нормальная. Тh: G/H- абелева abH=baH . Фактор группа- группа абелева тогда, и только тогда когда коммутант группы содержится в Н. В случае конечной группы G порядок G/H определяется по формуле: |G/H|= (G:H). В случае аддитивно записываемых абелевых групп бинарная операция на G/H выводится соотношением: (a+H)+(b+H)=(a+b)+H

Коммутаторные-соотношения: , c)[ ]= . Док-во: а) . b) .

c)[ ]: [ ]= , [ . [ ]=

7)Нильпотентность конечной р-группы.

Конечная группа G называется нильпотентной если,Z(G) 1. Z(G/Z(G))=1. Z(G/Z(G))/Z(G/Z(G))≠1.

Z(G)

Th. Если G группа. |G|= то G нильпотентна р простое число. Док-во.G по Z(G). . Пусть . Число элементов сопряженности равно индексу сопряженности.

Тh. Если G неабелева группа а|G|= => n≥3. Док-во.n≠1 => циклическая. n≠2 => Z(G) ; |G|= => G/Z(G) циклическая. . x,y . x=

Значит, группа абелева. Противоречие! Группа абелева.

Опр. G 2-нильпотентна, если G/Z(G) абелева. G 2-нильпотентна  G’ < Z(G). G/Z(G)–абелева. G/G’ aG’*bG’=abG’. bG’*aG’=baG’. abG’=baG’. G’= Если коммутатор лежит в центре  G 2-нильпотентна. G’<Z(G).

. . .

n=2.

8)Абелевы группы. Полные абелевы группы.

Абелевы группы. Полные абелевы группы. Группой наз-ся полугруппа, в которой выполнимы обратные операции, т.е. для любых элементов и каждые из уравнений обладает решением, притом единственным. Заметим, что единственность решений каждого из уравнений (1) позволяет производить в группе левосторонние и правосторонние сокращения, если или , то .

Решение уравнений (1) в случае произвольной группы не обязаны совпадать. Дело в том, что алгебраическая операция не предполагается коммутативной, т.е. произведение может зависеть от порядка сомножителей. Группа (или полугруппа), для любых двух элементов которой выполняется закон коммутативности наз-ся коммутативной или абелевой.

Полные абелевы группы. Группа G наз-ся полной, если для всякого целого числа и любого элемента уравнение имеет в G хотя бы одно решение.

Пример. (Q,+,-) = G – полна [ ] - полна

Если G абелева максимальная полная абелева группа, – редуцированная часть (R(G)=G|P(G)) то

Док-во: ={x G| . подгруппа: пусть n любое, тогда ,

Если ; ;

]

ord

ord

n(x+y) = nx+ny= 0

ord (x+y)=

9). Выделение полной абелевой группы без кручения прямым слагаемым в абелевой группе. Th, (с без кручением так и не нашел) Полная подгруппа А абелевой группы G выделяется в G прямым слагаемым. Док-во. Обозначим через В максимальную подгруппу группы G, пересекающуюся по нулю с подгруппой А, и докажем рав-во G=A⊕B. Предположим, что G≠A⊕B, и выберем элемент gG, не содержащийся в сумме А⊕В, так как в противном случае сумма А+В+(g) оказалась бы прямой и подгруппа В⊕ (g), строго содержащая В, пересекалась с А по нулю, что противоречит выбору В. Таким образом, gA⊕B, но некоторое кратное ng этого элемента уже содержится в А⊕В, причем n можно считать наименьшим положительным числом с условием r.gA⊕B. Можно даже считать n простым числом: если бы это было не так, то вместо g мы стали бы рассматривать элемент g , где p- просто делитель n. Ввиде выбора g найдутся такие элементы аА, bB, что ng=a+b. Так как подгруппа А полная, то в ней существует элемент а₁ , с условием na₁=a. Подставив в предыдущее равенство вместо а элемент na₁ , получим ng₁=b, где g₁=g-a₁. Вместе с g элемент g₁ , также не принадлежит подгруппе А⊕В. На основании выбора подгруппы В пересечение А(g₁ , B) отлично от нуля. Это означает, что некоторый ненулевой элемент а’А можно представить в виде суммы а’=kg₁+b’ , b’B , 0<k<n. Так как (k,n)=1, то существуют такие l, s, что lk+sn=1 и, следовательно, g₁=lkg₁sng₁. Так как ng₁,kg₁=a’-b’A⊕B, то g₁A⊕B. Полученное противоречие доказывает теорему.

10)Коммутаторные-соотношения:

a) , c)[ ]= .

Док-во:

а) . b) .

c) [ ]: [ ]= , [ . [ ]=

11) Прямые и декартовы произведения групп.

1 вариант: Прямое произведение состоит из ф-ций с условиями: 1) , 2) . Подмнож-во яв-ся нормальной подгр. в G, причем , в силу . Группа G разлагается в прямое произв-ие подгрупп , если порождается своими нормальными подгруппами , Причем каждый допускает запись , неединичные множители однозначно определяются эл-том . При аддитивной записи пишут . Пример: (С, +, =) разлагается в прямую сумму подгруппы действительных и подгруппы чисто мнимых чисел .

По лекции: - прямое произведение групп. . Прямое произведение групп подгруппа декартового произведения групп

Группа G явл-ся прямым произведением подгруппы , если и . Доказательство: Если бы . . . . . .

1 вариант: Пусть . Множество последовательностей с компонентным умножением: - явл-ся группой. Ее называют декартовым произведением групп , а сами -его множителями. Это понятие легко распространить на случай произвольной совокупности множителей , где Обозначим через Множество G с умножением по правилу , явл-ся группой и наз-ся декартовым произведением групп . Значение функции в точке -наз-ся проекцией или компонентом эл-та f в множителе . Множ-во -наз-ся носителем или суппортом ф-ции f.

По лекции: - декартово произведение групп. .

12) Первая теорема Силова. Теор.была доказана более 100 лет назад Л.Силовым. Пусть G конечная группа и . |G|=n ; n= l , где (p,l)=1.Существование: Для каждой степени , делящей порядок G, в G подгруппа порядка . Вложение: Всякая подгруппа G порядка , где α< k вкладывается в подгруппу порядка . В частности, силовские р-подгруппы из G — это в точности подгруппы порядка , где — максимальная степень р, делящая порядок G.Сопряженость : Все силовские подгруппы G сопряжены . < G. , то a G , что . Количество: Количество силовских подгрупп в группе G сравнимо с 1 по модулю р и делит порядок G. Отметим, что иногда говорят не об одной, а о трех теоремах Силова: утверждения о существовании и вложении наз-ся первой теоремой, о сопряженности — второй, а о количестве силовских р-подгрупп — третьей теоремой Силова. Доказательство:Существование. Пусть | G | = *l , (р, I) = 1. Пусть — множество всех подмножеств мощности из G. | |= . , наибольшая степень р, делящая | 𝕸|, — это . Если М , g G, то, очевидно, Mg = {mg | m M} , так что G действует на 𝕸 правыми сдвигами. Пусть { ,…., } — та орбита, мощность s которой не делится на . Пусть, далее, = {g | g G, , 1 ≤ i ≤s. Непосредственно проверяется, что — подгруппа в G, a = — правые смежные классы G по . Покажем, что подгруппа имеет требуемый порядок . Обозначим | | = t, тогда по Th Лагранжа . st = | G | = . Так как наибольшая степень р, делящая s,— это , то t делится на , в частности, t≥ . С другой стороны, если x то, очевидно, x поэтому | | ≤| или t ≤ , Окончательно t = ,. Вложение: Пусть , делит | G |, P — подгруппа порядка , из G, 𝕾 — класс подгрупп, сопряженных с Р элементами из G. Мы знаем, что | 𝕾 | = | G : (P) |. Если | 𝕾 | не делится на р, то| (P) | делится на , а потому по первой части теоремы в (P )/P подгруппа P*/Р порядка р. Тогда Р* — требуемая подгруппа Р. Пусть теперь | 𝕾 | делится на р. Группа Р действует на | 𝕾 | сопряжениями, причем мощности орбит делят | Р |, а потому имеют вид , 0. Так как имеется по крайней мере одна одноэлементная орбита {Р} и | 𝕾 | делится на р, то найдется и другая одноэлементная орбита {Q}. Р нормализует Q, поэтому PQ есть р-подгруппа (учесть, что PQ/Q P/P Q и расширение p-подгруппы посредством р-подгруппы есть р-подгруппа). Применяя к PQ тот внутренний автоморфизм группы G, который переводит Q в Р, мы получим р-подгруппу Р'Р, содержащую Р в качестве собственной нормальной подгруппы. Снова по первой части теоремы в Р'Р/Р найдется подгруппа Р*/Р порядка р, тогда Р* — требуемая подгруппа.

Из доказанного утверждения вытекает, что силовские р-подгруппы конечной группы — это в точности подгруппы порядка , где — максимальная степень р, делящая порядок группы.

Первая теорема Силова доказана

13) Циклические группы. Циклические подгруппы. Группа G наз-ся циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих эл-тов а, т.е., совпадает с одной из своих циклических подгрупп ; эл-т а наз-ся в этом случае образующим элементом группы G. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева. Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел– всякое целое число кратно 1, т.е. это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы взять также число –1. Примером конечной циклической группы порядка n служит мультипликативная группа корней n-й степени из единицы – показано, что все эти корни являются степенями одного из них, а именно первообразного корня. Подгруппа порожденная одним элементом называется циклической. Она состоит из всех возможных степеней порождающего элемента = Теорема 1. Любая бесконечная группа изоморфна Z, любая циклическая группа конечного порядка n изоморфна . Док-во: Пусть бесконечная циклическая группа. Зададим отображение , полагая = . Оно взаимно–однозначно: если бы при было = , т.е. = , то оказалась бы конечной. Далее = ,т.е. – изоморфизм. Если , – циклические группы конечного порядка , то мы получим изоморфизм , если положим , . Теорема 2. Любая подгруппа циклической группы – циклическая. Док-во: Пусть – циклическая группа порядка n, H– ее неединичная подгруппа. Пусть m – наименьшее целое число с условием: Очевидно, .Покажем, что в действительности . Возьмем в H произвольный элемент, он имеет вид . Поделим k на m с остатком: . Тогда . По выбору чисел m,r отсюда следует, что r=0 и . Аналогично доказывается цикличность подгрупп бесконечной циклической группы. Группу наз-ют локально циклической, если каждое ее конечное подмножество порождает циклическую подгруппу.