1) Понятие группы, подгруппы, примеры групп.

Пусть задано некоторое мн-во А, содержащее особый элемент е, и на А задана операция (А, *,е,=), х,у А х*у А , это мн-во наз-ся группой если: 1) 2) . Если в группе вып-ся коммутативность , то группа наз-ся абелевой. Пусть G-группа, Н-наз-ся подгруппой группы G(H ), если:

1)a 2) . Если H . Док-во: в силу 2) условия , в силу 1) условия a* , a* =e = , ассоциативность вып-ся из 1) условия . Примеры:1) Gl(2,Q)={ |a,b,c,d (Gl(2,Q),*,E,=) A*E=A=E*A, (A*B)*C=A*(B*C), detE=1 , A* 2) |A*B|=|A|*|B|=1*1=1 ? | |=1/|A|=1/1=1 3) , 4)(S(4),*, ,=). 4) R - группа действительных чисел с операцией сложения. (аддитивная группа действительных чисел),5)C - аддитивная группа комплексных чисел. Подгруппа <а > порожденная одним эл-ом а наз-ся циклической. Она состоит из всевозможных степеней порождающего эл-та. <а >={ }

2) Смежные классы по подгруппе С каждой подгруппы Н группы G можно связать множества: gH= {gh|h H}, g G, которые наз-ся левыми смежными классами группы G по подгруппе Н. Hg= {hg|h H}, g G, которые наз-ся правыми смежными классами группы G по подгруппе Н. aH=bH  *b H. Док-во: (). Пусть , H. a = b . a = b . = b => b H. (). Пусть b H. Тогда b = (Найдутся такие и ). a b =a => b =a => aH=bH. Мощность множества левых и правых смежных классов группы G по подгруппе Н наз-ся индексом подгруппы Н в группе G и обозначаются | G:H| Теорема Лагранжа: Если H ≤G, то |G|=|H|*|G:H|. Число элементов в группе равно числу элементов подгруппы умноженное на индекс подгруппы в группе. Док-во:Поймем,что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают . aH bH => c aH bH. c=a , c=b . a = b . a= b , H => a bH => aH bH. b= b , H => b bH => bH aH. (aH bH) & (bH aH)  aH=bH. Далее, пусть a aH. A=a*e , e H. |H|=|aH|. Строим f:H -> aH. F(x)=ax, где x H. Это биекция.Док-во: Пусть тогда .Предположим, что , тогда a , противоречие (Инъекция доказана). Обратное существует: Если f(x)=y=ax то x= y, (сюръекция доказана). Элементов в Н столько же сколько в aH

H

………………………………

G

(чтд)

3)Классы сопряженности в группе. Централизаторы и нормализаторы. Элемент а сопряжен с элементом у в группе G, если найдется такой x из G,что x^-1ax=y. a G a^G={a^y,y G}→мн-во сопр. эл. с эл-том

a={y^-1ay|y G}. x≈y⟺x^G=y^G. ≈ – отношение экв-ти.

Теорема. Порядки сопряженных элементов равны.

Док-во: пусть x^-1ax=b.Предположим что |a|=n, |b|=m, n˂m.Тогда (x^-1ax)ⁿ=aⁿ=e, но bⁿ≠e. Полученное противоречие док-т теорему. Сопряжение – отношен. экв-ти. Т.е. для сопр. выполняются 3 св-ва:

1)Рефлективность: x≈x x^G=x^G.

2)Симметрия: x≈y то y≈x. x^G=y^G⇒ y^G=x^G⇒ y≈x

3)Транзитивность: x^G≈y^G,y^G=z^G⇒x^G=z^G⇒x≈z.

1^G=1^G y^-11y=1. z^t=z⇒t^-1zt=z⇒zt=tz. Из центра группы класс сопр. единичный.

Вообще, разл-е классы могут иметь разные мощ-и. Инстр-м измерения мощ-и класса служит нормализатор.

Теорема. Класс сопр-ти эл-та по мощности совпадает с индексом этого эл-та.

|a^G|=G:C(a)|. a Z(G)⇒C(a)=G.

Док-во: :a^G {xC(a)|x G}. (a^x)=xC(a).

Пусть ≠ ⇒ ax₁≠ a

Допустим x₁(a)=x₂C(a). x₁C(a)= x₂C()⇒ x₂ C(a).

x₁^-1x₂a=a x₂⇒x₂a=x₁a x₂

x₂ax₂^-1=x₁ax₁^-1 a^{( )}=a^{( )}

≠

x₂^-1x₁C(a)=C(a). x₂^-1x₁a=ax₂^-1x_1.

Нормализатор подгруппы:

H≤G. N(H)={a G|a^-1Ha=HG}. A^-1Ha={aha|h=H}.

Лемма N(H) подгруппа G; H≤N(H)≤G

Док-во:N(H) подгруппа G: a,b N(H)⇒ ab N(H). h H. (ab)^-1h(ab)=b^-1a^-1hab=

=b^-1h ₁b H⇒ab N(H). a N(H)⇒ a^-1 N(H).

h H. (a^-1)^-1h(a^-1)=aha^-1=(a^-1h^-1a)^-1 H⇒a^-1 N(H). N(H) подгр. G. h H⇒h N(H).

h^-1(n)h H⇒h N(H).

Централизатор подгруппы.

Пусть G группа.x G.

C(x)-центр-р. Предложение: Центр-р подмнож. яв-ся подгруппой в G.

Док-во:1 , C(x)≠0. a,b C(x).

Проверим, что ab C(x). Возьмем любой x X

(ab)x=abx=axb=x(ab)⇒ ab C(x).a ⇒a^-1 C(x).

Пусть x X. ax=xa⇒ x=a^-1xa⇒ xa^-1=a^-1x⇒ a^-1 C(x).

C(x)={a G|ax=xa}

C(x)=

G=S(4). x=(1,2).

C(x)={a S(4)|ax=xa}

{,(1,2),(3,4),(1,2),(3,4)}

(1,2)(3,4)x=x(1,2)(3,4).

4 )Нормальные подгруппы. Гомоморфизмы групп. Нормальные подгруппы. Пусть G=(s;∗)-группа,а H=(T;∗), T⊆S ,- ее подгр. Подгр. H наз-тся нормальной подгр.группы G, если для каждого эл-та aS его левые и правые смежные классы совпадают, т.е. если ∀aS aH=Ha. Сл-но,яв-ся нормальной подгр.Заметим, что каждая подгр. абелевой группы нормальна. Если подгр. Н нормальна в группе G, то левостороннее и правостороннее раложения группы G по подгруппе совпадают. Th.Подгр. H=(T;∗) яв-ся нормальной подгр.группы G=(S;∗) тогда и только тогда, когда для каждого эл-та S для любого элемента hH верно, что a’∗h∗aH, где эл-т a’ симметричен эл-ту a в группе G.Док-во. ⟹ Если для каждого эл-та aS верно aH=Ha, то для любого эл-та hH найдется такой эл-т h₁H, что a∗h₁=h∗a. Откуда a’∗(a∗h₁)=a’∗(h∗a).Т.е. а’∗h∗aH. ⟸. Если для каждого эл-та aS для любого эл-та hH верно a’∗h∗aH , то a’∗h∗a=h₁H. Откуда a∗(a’∗h∗a)=a∗h₁ , h∗a=a∗h₁ . Т.е. Ha⊆aH. Включение aH⊆Ha доказывается аналогично, рассамтривая произведение (a’)’ ∗h∗a’, a’S. Поэтому, aH=Ha. ∎ Пример. SL(n,k)⊲GL(n,k) A∈SL(n,k) detA=1 Det(B^-1AB)=detB^-1*detA*detB=detA=1 Пример. G – абелева группа H<G=>H⊲G a^-1ha=a^-1ha=h∈H Пример. Докажем, что группа Н вращений правильного треугольника в плоскости является нормальной подгруппой группы S₃. S₃={e=(1,2,3),(1)(23),(12)(3),(13)(2),(123),(132)}, И подгруппа Н: H={(1)(2)(3),(123),(132)}.Тогда eH=h={(1)(2)(3),(123),!32)}=He, И (1)(23)H={(1)(23),(12)(3),(13)(2)}=H(1)(23). Т.е. подгруппа Н – нормальная подгруппа группы S₃. Гомоморфизмы групп.Пусть Если Пример: . Если . . 1)Если . Если

5) Теорема о гомоморфизмах Th.Если :G₁→G₂ –гомоморфизм, то: 1)Ker 2) Если Н ₁, то сущ-ет группа G₂= G₁/H и канонический гомоморфизм ₁: G₁→G₂ такой, что Ker =Н . Док-во. 1)Пусть x , y . X^y=y^-1xy. 2)Считаем G₂={aHǀa G₁}- факторгруппа G₁ по Н . Зададим на G₂ операцию хН*уН↔хуН . (хН*уН)*zH=xyH*zH=(xy)zH . xH*(yH*zH)=xH*yzH=x(yz)H . xH*x^-1H=xx^-1H=eH=H . (xH)^-1=x^-1H ,e₍₁₎=eH=H . Строим ₁(х)=xH. (xy)=xyH=xH*yH= (x)* (y) , сл-но - гомоморфизм . Ker = {x G₁ǀ (x)=H}={x G₁ǀ xH=H}={H}