3.2. Пример решения задания № 3

Пример 3.1

В табл. 3.1 представлены результаты опроса 300 человек. Рассчитав коэффициенты ассоциации и контингенции, определите, существует ли связь между заболеваемостью гриппом и вакцинированием.

Таблица 3.1. Расчет коэффициентов ассоциации и контингенции

Группа лиц	Число лиц
	заболевших гриппом	не заболевших гриппом	Итого
Сделавших прививку	30 (а)	150 (b)	180 (a + b)
Не сделавших прививку	90 (с)	30 (d)	120 (c + d)
Итого	120 (a + c)	180 (b + d)	300 (a + b + c + d)

Решение

Коэффициент ассоциации вычисляем по формуле (3.1)

.

Отрицательное значение коэффициента ассоциации свидетельствует об обратном направлении связи между заболеваемостью и прививками, т. е. чем больше сделано прививок, тем меньше заболевших. Значение коэффициента ассоциации по абсолютной величине больше 0,5, следовательно, связь между заболеваемостью и прививками сильная.

Коэффициент контингенции вычисляем по формуле (3.2)

.

Отрицательное значение коэффициента контингенции тоже свидетельствует об обратном направлении связи между заболеваемостью и привив- ками. Значение коэффициента контингенции по абсолютной величине больше 0,3, следовательно, связь между заболеваемостью и прививками существенная.

Ответ. На основе двух рассчитанных коэффициентов ассоциации и контингенции можно утверждать, что между заболеваемостью гриппом и прививками от гриппа существует сильная обратная связь, т. е. чем больше сделано прививок, тем меньшее количество людей заболевает.

Пример 3.2

Используя коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, необходимо исследовать взаимозависимость между типом предприятия и уровнем рентабельности его производства по данным, приведенным в табл. 3.2.

Таблица 3.2. Распределение предприятий в зависимости

от типа и уровня рентабельности

Тип предприятия	Уровень рентабельности производства				Итого
	высокий	средний	низкий	Убыточные предприятия
Крупное	20	24	8	2	54
Среднее	10	15	7	8	40
Мелкое	5	10	25	20	60
Итого	35	49	40	30	154

Решение

По формуле (3.4) определяем показатель взаимной сопряженности. Число групп признака – это тип предприятия, = 3  . Число групп признака – уровень рентабельности производства, = 4 .

+ .

Вычисляем коэффициент взаимной сопряженности Пирсона по фор- муле (3.3)

Вычисляем коэффициент взаимной сопряженности Чупрова по фор- муле (3.5)

= .

Так как оба коэффициента взаимной сопряженности больше значения 0,3, то между уровнем рентабельности предприятия и типом предприятия существует существенная взаимосвязь.

Ответ. Следовательно, уровень рентабельности предприятия существенно зависит от того, является ли предприятие крупным, средним или мелким.

Пример 3.3

С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендэла измерить тесноту зависимости между стоимостью основных производственных фондов и объемом выпуска продукции по данным 10 предприятий, приведенным в табл. 3.3.

Таблица 3.3. Данные о стоимости производственных фондов

и объеме продукции на 10 предприятиях

Стоимость основных фондов, млн руб.	1,4	2,1	3,0	1,8	1,9	1,9	2,3	3,5	3,8	2,6
Объем продукции, млн руб.	3,9	4,4	5,6	3,5	5,0	6,5	5,4	8,5	8,8	4,9

Решение

Для вычисления коэффициента корреляции рангов Спирмэна и Кендэла сначала записываем по возрастанию значения признака х – стоимость основных производственных фондов (графа 2 табл. 3.4). Во третью графу табл. 3.4 записываем значения признака у – объем выпуска продукции, соответствующие значениям х в исходных данных. Затем ранжируем значения признаков в каждом ряду, т. е. каждому значению х и у в порядке их возрастания присваиваем порядковый номер (ранг) и (графы 4 и 5). Наименьшей величине х, равной 1,4 млн руб., присваиваем ранг 1. Следующему за ним по возрастанию значению – ранг 2. Для предприятий 3 и 4 значения х одинаковые и равны 1,9 млн руб. Тогда для этих предприятий 3 и 4 получим ранг 3,5 .

Таблица 3.4. Расчет коэффициентов корреляции рангов по данным

о стоимости производственных фондов и объеме выпуска продукции

№ предприятия	х	у	Ранги		Разность рангов d = –		Подсчет баллов
							«+»	«–»
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1,4	3,9	1	2	–1	1	8	1
2	1,8	3,5	2	1	1	1	8	0
3	1,9	5,0	3,5	5	–1,5	2,25	5	2
4	1,9	6,5	3,5	8	–4,5	20,25	2	4
5	2,1	4,4	5	3	2	4	5	0
6	2,3	5,4	6	6	0	0	3	1
7	2,6	4,9	7	4	3	9	3	0
8	3,0	5,6	8	7	1	1	2	0
9	3,5	8,5	9	9	0	0	1	0
10	3,8	8,8	10	10	0	0	–	–
						= 38,5	P = 37	Q = –8

Значения х располагаем по возрастанию, поэтому и значения располагаются по порядку возрастания. Если бы значения у для соответствующих значений х в первых двух строках таблицы располагались «правильно», то они стояли бы в таком порядке: 3,5; 3,9, …, но фактическое их расположение – 3,9; 3,5, … Поэтому для них не 1, 2, …, а 2, 1 и т. д.

Затем находим разности рангов d =   –  и записываем в графу 6 табл. 3.4, возводим разности в квадрат (графа 7) и суммируем. Полученную сумму подставляем в формулу (3.6):

.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна  0,767, что свидетельствует о сильной прямой зависимости между стоимостью основных производственных фондов (х) и объемом выпуска продукции (у).

Для расчета коэффициента корреляции рангов Кендэла по формуле определяем в соответствии с описанным выше порядком (см. с. 35) сумму положительных P и отрицательных Q баллов.

Вспомогательные расчеты этих баллов показаны в графах 8 и 9 табл. 3.4. Так как значения рангов х идут строго в возрастающем порядке, то следим лишь за поведением рангов у.

Для первой пары значений рангов, где = 2, в восьми случаях идут значения с бóльшим значение рангов  2 (это ранги 5, 8, 3, 6, 4, 7, 9, 10) и в одном случае с меньшим значением рангов < 2 (это ранг 1).

Для второй пары значений рангов, где  = 1, тоже в восьми случаях идут значения с бóльшим значение рангов  1 (это ранги 5, 8, 3, 6, 4, 7, 9, 10) и нет ни одного случая с меньшим значением рангов < 1.

Для третьей пары значений рангов, где  = 5, в пяти случаях идут значения с бóльшим значение рангов  5 (это ранги 8, 6, 7, 9, 10) и в двух случаях с меньшим значением рангов < 5 (это ранги 3, 4).

Для четвертой пары значений рангов, где  = 8, в двух случаях идут значения с бóльшим значение рангов  8 (это ранги 9, 10) и в четырех случаях с меньшим значением рангов < 8 (это ранги 3, 6, 4, 7).

Для пятой пары значений рангов, где  = 3, в пяти случаях идут значения с бóльшим значение рангов  3 (это ранги 6, 4, 7, 9, 10) и нет ни одного случая с меньшим значением рангов < 3.

Для шестой пары значений рангов, где  = 6, в трех случаях идут значения с бóльшим значение рангов  6 (это ранги 7, 9, 10) и в одном случае с меньшим значением ранга < 6 (это ранг 4).

Для седьмой пары значений рангов, где  = 4, в трех случаях идут значения с бóльшим значение рангов  4 (это ранги 7, 9, 10) и нет ни одного случая с меньшим значением рангов < 4.

Для восьмой пары значений рангов, где  = 7, в двух случаях идут значения с бóльшим значение рангов  7 (это ранги 9, 10) и нет ни одного случая с меньшим значением рангов < 7.

Для девятой пары значений рангов, где  = 9, только один случай со значением рангов  9 (это ранг 10) и нет ни одного случая с меньшим значением рангов < 9.

Просуммируем число наблюдений с бóльшими значениями рангов и обозначим полученную сумму через P:

P = 8 + 8 + 5 + 2 + 5 + 3 + 3 + 2 + 1 = 37.

Суммарное число рангов с меньшими по сравнению с текущим рангом значениями равно 8 (1 + 2 + 4 + 1). Данная величина, взятая со знаком «–», обозначается буквой Q (Q = –8).

Находим общую сумму баллов:

S = P + Q = 37 – 8 = 29.

Подставляя ее в формулу (3.7), определяем:

.

Полученное значение характеризует довольно большую (выше среднего) тесноту связи между стоимостью основных производственных фондов (х) и объемом выпуска продукции (у).

Ответ. Полученные коэффициенты корреляции рангов Спирмена 0,955 и Кендэла позволяют сделать вывод о сильной прямой зависимости между стоимостью основных производственных фондов (х) и объемом выпуска продукции (у), т. е. с ростом стоимости основных производственных фондов возрастает и объем выпуска продукции на предприятии.