3.1.2. Коэффициенты корреляции рангов

Для оценки тесноты связи используют коэффициенты корреляции рангов Спирмэна ( ) и Кендэла ( ), которые основаны на корреляции не самих значений коррелируемых признаков, а их рангов, т. е. нóмера их мест, занимаемых в каждом ранжированном ряду по возрастанию или убыванию.

Правила ранжирования:

оба признака необходимо ранжировать (нумеровать) в одном и том же порядке: от меньших значений к большим (и наоборот);

если встречается несколько одинаковых значений х (или у), то каждому из них присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов (суммы мест), приходящихся на это значение, на число равных значений (например, если за рангом 3 следуют три равных значения признака, то им всем присвоится ранг 5, так как (4 + 5 + 6) / 3 = 5);

ранги признаков х и у обозначаются символами и (иногда и ).

Коэффициенты корреляции рангов Спирмэна и Кендэла могут быть использованы для определения связи как между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их значения можно упорядочить или проранжировать.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна ( ) рассчитывается по формуле

, (3.6)

где d =   –  , т. е. разности рангов каждой пары значений x и y, а n – число наблюдений.

Порядок расчета коэффициента Спирмэна ( ):

1. Значения признаков х и у ранжируются, т. е. им присваивают определенный ранг и .

2. Значение записываются строго в порядке возрастания (или убывания): 1, 2, …, n.

3. Для каждой пары рангов находят их разность d = – .

4. Вычисляют квадраты этих разностей .

5. Вычисляют коэффициент корреляции рангов Спирмэна по формуле (3.6).

Коэффициент корреляции рангов Кендэла ( ) определяется по формуле

, (3.7)

где S – сумма положительных и отрицательных баллов.

Порядок расчет коэффициента Кендэла ( ):

1. Значения признаков х и у ранжируются, т. е. им присваивают определенный ранг и .

2. Значение записываются строго в порядке возрастания (или убывания): 1, 2, …, n.

3. Ранги второго показателя ( ) располагаются в порядке, соответствующем значению х в исходных данных.

4. Устанавливается мера соответствия последовательности «правильному» следованию (где расположены строго по возрастанию):

а) для каждого последовательно определяют число следующих за ним рангов, превышающих его значение, т. е. определяют «правильное» следование, и они учитываются со знаком «+», а их сумма обозначается буквой P;

б) для каждого последовательно определяют число следующих за ним рангов, меньших по значению, т. е. определяют «неправильное» следование, и они учитываются со знаком «–», а их сумма обозначается буквой Q.

5. Определяется сумма баллов по всем членам ряда, т. е. S = P+Q.

6. Вычисляется по (3.7).

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна и Кендэла может принимать следующие значения в интервале от –1 до +1: значение 0 свидетельствует об отсутствии связи между признаками, –1 – связь обратная функциональная, +1 – связь функциональная прямая. Существенной считается связь, если и превышают по своей абсолютной величине значение 0,5.