2. Задание № 2

Исследовать основную тенденцию развития в рядах динамики по статистическим данным, приведенным в индивидуальных заданиях (в зависимости от вашего варианта). Для этого:

1) используя метод аналитического выравнивания, построить модель тренда, отражающего закономерность развития явления; исходные и расчетные данные для определения параметров тренда представить в табличном виде;

2) изобразить графически фактические и выровненные уровни исследуемого динамического ряда;

3) составить интервальный прогноз ожидаемого значения уровня ряда на год, указанный преподавателем, гарантируя результат с заданной вероятностью Ф(t).

2.1. Краткая теория

Метод аналитического выравнивания позволяет определить аналитическое выражение, отражающее закономерность изменения явления как функцию времени y_t = f(t). Метод основан на замене фактических значений уровней y_i плавно изменяющимися величинами y_t. Выбор типа модели может основываться на анализе графического изображения уровней динамического ряда. Выравнивание по прямой линии используется, когда абсолютные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии. Выравнивание по показательной функции используется, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т. е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны. Расчет параметров функции f(t) производится методом наименьших квадратов.

Когда тип тренда установлен, вычисляют оптимальные значения параметров тренда, исходя из фактических уровней. Для этого обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). В этом методе минимизируется сумма квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от выровненных уровней (от тренда). Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую, рассчитывают параметры тренда. Однако вычислительный процесс определения параметров тренда при сохранении полной идентичности конечных результатов может быть упрощен, если ввести обозначения дат (периодов) таким образом, чтобы .

Если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) обозначаются следующим образом (табл. 2.1):

Таблица 2.1. Представление показателя времени

Временные даты (периоды)	2000	2001	2002	2003	2004
Уровни ряда динамики
Обозначения временных дат t	–2	–1	0	1	2

Если количество уровней в ряду динамики четное, то счет ведется полугодиями и обозначения временных дат (t) принимают следующий вид (табл. 2.2):

Таблица 2.2. Представление показателя времени

Временные даты (периоды)	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Уровни ряда динамики
Обозначения временных дат t	–3	–2	–1	1	2	3

При выборе формы уравнения тренда необходимо учитывать объем имеющейся информации. Чем больше параметров в уравнении тренда, тем больше требуется уровней ряда динамики для одной и той же степени надежности.

Основная тенденция развития в рядах динамики с постоянными абсолютными приростами отображается линейным уравнением

, (2.1)

где , – неизвестные параметры, для расчета которых по способу наименьших квадратов необходимо решить систему нормальных уравнений

(2.2)

где y_t – исходные уровни ряда динамики; n – число членов ряда; t – показатель времени.

Решение системы (2.2) дает следующее выражение для , :

(2.3)

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения может быть упрощена. Для этой цели показателем времени придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т. е. (см. табл. 2.1, 2.2). При этом уравнения примут вид

(2.4)

откуда

и ; (2.5)

– представляет собой средний уровень динамики ряда – является коэффициентом регрессии, определяющим направление и темпы развития явления.

Если , то уровни выровненного ряда динамики равномерно возрастают, а при происходит равномерное снижение.

Для оценки точности замены ряда динамики уравнением тренда используется оценка погрешности, которая определяется по формуле

(2.6)

где и – фактические и расчетные значения уровней ряда динамики, n – число уровней ряда динамики, m – число параметров модели тренда (для линейной функции m = 2, для параболы m = 3 и т. д.), – среднее значение уровня ряда.

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений рассчитывают доверительные интервалы прогноза, используя интервальную оценку. Границы интервалов определяют по формуле

, (2.7)

, (2.8)

где – среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы , – коэффициент доверия по распределению Стьюденса, – уровень значимости ( ).

Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления есть:

. (2.9)