1.1.6. Графическое представление рядов распределения

Ряды распределения удобно изучать с помощью графического метода. Для этой цели строят гистограмму и кумуляту (кривую накопления) распределения.

Гистограмма применяется для изображения интервального вариационного ряда. При ее построении на оси абсцисс откладываются величины интервалов признака, а по оси ординат – численности (частоты) единиц совокупности. На отрезках, изображающих интервалы, строят прямоугольники, площади которых пропорциональны численностям единиц. Высота прямоугольников соответствует частоте или частости интервала.

Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда.

Мода определяется по гистограмме распределения. Сначала определяют модальный интервал. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом следующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рис. 1.1).

Модальный интервал

х

0

Рис. 1.1. Графическое представление интервального ряда

Медиана определяется по кумуляте. Для интервального ряда при построении кумуляты по оси абсцисс отмечают границы интервальных групп, накопленные частоты по оси ординат относят к верхним границам. Для определения медианы высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной (рис. 1.2).

1

1/2

0 х

Рис. 1.2. Определение медианы по кривой накопления

1.2. Пример решения задания № 1

По данным табл. 1.5 произведите группировку 20 коммерческих банков по сумме выданных кредитов (в млн руб.).

Таблица 1.5. Данные о сумме выданных кредитов банками

№ банка	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Сумма кредитов	20	40	50	50	60	60	130	60	60	70
№ банка	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Сумма кредитов	70	80	80	90	100	110	40	30	30	40

По полученной группировке определите:

1. среднее значение показателя, модальное и медианное значение,

2. показатели вариации абсолютные и относительные,

3. с заданной вероятностью Ф(t) (для нечетных вариантов заданий 0,997; для четных вариантов заданий 0,954) возможные пределы среднего значения показателя,

4. изобразите полученный интервальный вариационный ряд графически и сделайте выводы о характере распределения.

Решение

Проводим группировку коммерческих банков по сумме выданных кредитов.

1. Строим ранжированный ряд, т. е. располагаем все элементы нашей выборки в порядке возрастания значений:

20, 30, 30, 40, 40, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 80, 80, 90, 100, 110, 130.

2. Определяем размах варьирования прибыли:

млн руб.,

где – соответственно наибольшее и наименьшее значение прибыли.

3. По формуле Стерджесса (1.1) определяем число групп, на которое надо разбить исследуемую выборку из 20 банков:

.

Здесь n – объем выборки. Полученное значение k округляется до целого числа.

4. Зная число групп, определяем величину интервала по формуле (1.2)

млн руб.

4. Определяем левые и правые границы отдельных групп:

и т. д.

6. Определяем среднее значение кредитов в каждой группе:

,

где – номер класса или группы .

7. Определяем частоту попадания случайной величины в j-й класс. Для этого элементы ранжированного ряда сравниваем с границами j-го класса. Если элемент вариационного ряда удовлетворяет условиям:

тогда его относят к j-му классу, т. е. увеличивают на 1.

В результате имеем следующий интервальный ряд распределения коммерческих банков по сумме выданных кредитов:

…	20–42,0	42,0–64,0	64,0–86,0	86,0–108,0	108,0–130,0
…	5	7	4	2	2

8. Рассчитаем частости случайной величины в j-м классе.

9. Определяем сумму накопленной частоты попадания в j-й класс .

Все расчеты представить в табличной форме (см. табл. 1.6).

Таблица 1.6. Группировка банков по сумме выданных кредитов

Номер группы j
1	20,0	42,0	31,0	5	0,25	5
2	42,0	64,0	53,0	7	0,35	12
3	64,0	86,0	75,0	4	0,2	16
4	86,0	108,0	97,0	2	0,1	18
5	108,0	130,0	119,0	2	0,1	20
Сумма:	–	–	–	20	1	–

Определяем средний размер выданных кредитов, модальное и медианное значение (пункт 1).

1. Средний размер суммы выданных кредитов по 20 коммерческим банкам определяется по формуле средней арифметической взвешенной (см. табл. 1.2)

Следовательно, средняя сумма выданных кредитов по 20 обследованным нами банкам равна 62,9 млн руб.

2. Рассчитаем структурные средние:

1) Для определения модального размера выданных кредитов сначала определяют модальный интервал по данным табл. 1.6. Это тот интервал, которому соответствует наибольшая частота . Наибольшая частота равна 7, что соответствует второму интервалу [42,0–64,0]. Нижняя граница модального интервала ; частота модального интервала ; частота интервала, предшествующего модальному, ; частота интервала, следующего за модальным, .

Подставим в формулу (1.5) соответствующие величины, получим

Следовательно, банки наиболее часто выдают кредиты размером 50,8 млн руб.

2) Для определения медианы сначала определяют медианный интервал по данным табл. 1.6. Это тот интервал, до которого сумма накопленных частот меньше половины всей численности ряда, а с прибавлением его частоты – больше половины. По накопленным частотам половина численности . Сумма накопленных частот в первом интервале равна 5, т. е. меньше половины численности ряда. Прибавив частоту второго интервала, равную 7, получим сумму 12, превышающую половину. Следовательно, медианным является второй интервал [42,0–64,0].

Медиану определяем по формуле (1.7)

Следовательно, у 50 % коммерческих банков сумма выданных кредитов меньше 57,71 млн руб., а у остальные 50 % – больше.

Определяем показатели вариации абсолютные и относительные (пункт 2).

1. Определяем абсолютные показатели вариации распределения банков по размеру выданных кредитов (табл. 1.6).

а) Находим разницу между максимальным и минимальным размером кредита и получаем величину размаха вариации [формула (1.8)]:

млн руб.

б) Для расчета среднего линейного отклонения находим абсолютное отклонение значений середины интервала ( ) от средней величины ( ) по модулю . Вычисляем произведения отклонений на их веса ( ), и подсчитываем сумму их произведений. Эта сумма равна 457,6 (графа 5 табл. 1.7).

По формуле (1.9) вычисляем среднее линейное отклонение:

млн руб.

в) Для определения дисперсия возведем в квадрат отклонения значений середины интервала ( ) от средней величины ( ) – . Затем квадрат отклонений умножим на веса ( ) и подсчитаем сумму, которая равна 14979,8 (графа 6 табл. 1.7).

Таблица 1.7. Расчет абсолютных показателей вариации

Номер группы j	Размер кредита, млн руб.	Середина интервала	Число банков
1	2	3	4	5	6
1	20,0–42,0	31,0	5	159,5	5088,05
2	42,0–64,0	53,0	7	69,3	686,07
3	64,0–86,0	75,0	4	48,4	585,64
4	86,0–108,0	97,0	2	68,2	2325,62
5	108,0–130,0	119,0	2	112,2	6294,42
Сумма:	–	–	20	457,6	14979,8

По формуле (1.10) вычисляем дисперсию:

млн руб².

г) Извлечем корень квадратный из дисперсии (1.11) и получим среднее квадратическое отклонение:

млн руб.

2. Определяем относительные показатели вариации:

а) коэффициент осцилляции (1.12):

,

б) относительное линейное отклонение (1.13):

,

в) коэффициент вариации (1.14):

Коммерческие банки не однородны по размеру выдаваемых кредитов, так как коэффициент вариации равен 43,51 %, т. е. больше 33 %.

Определяем возможные пределы средней суммы выданных кредитов (пункт 3).

С вероятностью  = 0,954 (для четных вариантов) определяем возможные пределы средней прибыли коммерческих банков.

Для вероятности  = 0,954 определяем по табл. 1.3 значение коэффициента доверия t = 2. Объем выборки n = 20, так как нами было обследовано 20 коммерческих банков. Средняя сумма выданных кредитов этими 20 банками составила  = 62,9 млн руб., среднее квадратическое отклонение  = 27,37 млн руб.

Рассчитаем предельную ошибку выборки (1.15):

= = 2 млн руб.

Определим пределы генеральной средней (1.16):

(62,6 – 12,47) млн руб. (62,6 + 12,47) млн руб.,

или

50,13 млн руб. 75,07 млн руб.

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний размер выданных кредитов всех коммерческих банков находится в пределах от 50,13 до 75,07 млн руб.

Строим полученный интервальный вариационный ряд графически и делаем выводы о характере распределения (пункт 4).

Строим интервальный ряд распределения 20 коммерческих банков по сумме выданных кредитов.

По построенной гистограмме (рис. 1.3) определяем модальное значение суммы выданных кредитов – = 53 млн руб.

Для определения медианного значения строим кривую накопления (рис. 1.4)

Медианное значение суммы выданных кредитов коммерческими банками равно = 58 млн руб.

Сравниваем расчетные значения средней суммы выданных кредитов (  млн руб.) с модальным ( = 50,8 млн руб.) и медианным значениями (  = 57,71 млн руб.); так как эти значения не равны между собой, то распределение банков по сумме выданных кредитов не соответствует нормальному распределению.

Рис. 1.3. Группировка 20 коммерческих банков по сумме выданных кредитов

Рис. 1.4. Определение медианного значения суммы кредитов