1.1.5. Построение доверительных интервалов выборочных характеристик

Проведение статистического исследования со всей генеральной совокупностью весьма трудоемкое и дорогостоящее мероприятие. Поэтому на практике в целях снижения затрат как трудовых, так и финансовых проводят исследование не со всей генеральной совокупностью, а только с некоторой ее частью. Часть генеральной совокупности, которая подвергается статистической обработке, называется выборкой. Количество элементов, которые входят в состав данной выборки, называют объемом.

Выборка должна обладать свойством представительности или репрезентативности. Под представительностью понимается, что выборка, прежде всего, правильно отражает закон распределения статистической величины в генеральной совокупности.

Различают четыре вида отбора единиц наблюдения в выборку: случайный, механический, типический, серийный (гнездовой).

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупностей обозначаются символами:

N – объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);

n – объем выборки;

– генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности);

– выборочная средняя;

p – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком, от общего числа единиц генеральной совокупности);

m – частота (число единиц выборки, обладающих данным признаком);

w – выборочная доля;

² – генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);

S² – выборочная дисперсия того же признака;

 – среднее квадратичное отклонение в генеральной совокупности;

S – среднее квадратичное отклонение в выборке.

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.

Чем больше значение ошибки выборки, тем больше выборочные показатели отличаются от соответствующих генеральных показателей.

Величина , обозначаемая , называется предельной ошибкой выборки. Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида ошибок связаны следующим соотношением:

, (1.15)

где  – предельная ошибка выборки;  – средняя ошибка выборки; t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности , с которой гарантируется предельная ошибка выборки.

По величине t определяется доверительная вероятность . На практике пользуются готовыми таблицами этой функции . В табл. 1.3 приведены некоторые значения t и .

Таблица 1.3. Значения вероятности для коэффициента доверия t

t	1,000	1,5	2,0	2,5	2,6	3,0	4,0
	0,683	0,867	0,954	0,988	0,991	0,997	0,9999

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

;

, (1.16)

где и – генеральная и выборочная средние соответственно;  – предельная ошибка выборочной средней.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.

Зависимость средней ошибки выборки от ее объема и степени вариации признака отражена в формулах, которые даны ниже в табл. 1.4 для всех видов и схем отбора единиц совокупности в выборку. Формулы приведены для двух случаев: для количественного признака и доли признака (или альтернативного признака).

Таблица 1.4. Формулы для вычисления средней ошибки и объема выборки

Виды отбора	Схемы отбора
	Повторный отбор		Бесповторный отбор
	Количественный признак	Альтернативный признак	Количественный признак	Альтернативный признак
Случайный, механический
Типический
Серийный

Дадим пояснение для введенных обозначений при рассмотрении серийной выборки:

r – число отобранных серий; R – общее число серий;

 = – межгрупповая дисперсия для количественного признака;

= – межгрупповая дисперсия для альтернативного признака;

– средняя i-й серии;

– общая средняя по всей выборочной совокупности;

w_i – доля признака в i-й серии;

– общая доля признака во всей выборочной совокупности.