36. Скорости газовых молекул. Распределение Максвелла. Наиболее вероятная, средняя арифметическая и среднеквадратичная скорости газовых молекул.

В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям (v), которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом. При его выводе Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля, действующие на газ, отсутствуют. Закон Максвелла представлен в виде некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) представляет собой отношение доли (относительного количества) молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, в величине этого интервала dv.

(1)

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел функцию f(v), т.е. закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

(2)

Здесь m_o – масса одной молекулы.

Из (2) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и температуры Т.

Рис.1.

Рис.2.

График функции распределения приведен на рис.1. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при v0 и v и проходит через максимум при некоторой скорости v_в, называемой наиболее вероятной скоростью, причем этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно v_в. Площадь под данной кривой равна единице, т.е.

.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (2) по аргументу v и приравняв результат нулю, используя условие для максимума выражения f(v):

(3)

Из формулы (3) следует, что при повышении температуры (T₂>T₁) максимум функции распределения молекул по скоростям (рис.2) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, так как общее число молекул газа не зависит от температуры. Поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

В молекулярно-кинетической теории пользуются понятием средней арифметической скорости v_а поступательного движения молекул идеального газа, вычисляемой из закона распределения:

(4)

и средней квадратичной скорости поступательного движения молекул

(5)

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная (3), средняя арифметическая (4) и средняя квадратичная (5), представлены на рис.1.

Можно ввести также распределение молекул идеального газа по энергиям определяет долю dN()/N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии  = mv²/2, заключенные в интервале от  до  + d:

где f() — функция распределения молекул по энергиям.

Определим в качестве примера среднюю кинетическую энергию <ε> молекулы идеального газа: