Динамическое программирование.

Метод динамического программирования является одним из эффективных методов оптимизации многоста-дийных процессов и многоступенчатых систем.

Под стадией процесса понимают единичный элемент его разбиения во времени или пространстве, характе-ризуемый определенной совокупностью определяющих состояние процесса параметров. Например, в качестве стадий технологического процесса изготовления детали можно рассматривать технологические операции.

Под ступенью системы понимают единичный элемент его разбиения на составные части, каждая из которых характеризуется определенной совокупностью параметров. В качестве ступеней такой системы как лета-тельный аппарат логично рассматривать, например, агре-гаты, отдельные узлы и детали.

Критерии оптимальности многостадийных и много-ступенчатых систем обычно представляют в виде адди-тивной или мультипликативной функций критериев для отдельных стадий и ступеней. В первом случае значение общего критерия оптимальности равно сумме значений критериев отдельных стадий и ступеней, во втором случае – их произведению. Аддитивными являются, например, критерии, определяющие стоимость процесса, трудоем-кость изготовления и др. Мультипликативным критерием может быть общая вероятность изготовления изделия соответствующего качества, равная произведению вероят-ностей выпуска годных изделий на каждом этапе техно-логического процесса.

Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который формули-руется следующим образом: оптимальная стратегия обла-дает таким свойством, что каковы бы ни были начальное состояние и начальные решения, последующие решения следует принимать, исходя из оптимальной стратегии с учетом состояния, вытекающего из первого решения.

Математическую формулировку принципа оптималь-ности для дискретных процессов можно выразить в виде уравнения

(13)

где f_N(x₁) – максимальное значение критерия опти-мальности для N стадий процесса; Х₁ и Х₂ – вектора параметров состояния соответственно на первой и второй стадии; U₁ – вектор управления на первой стадии; U – допустимое множество управлений; Q₁(X₁,U₁) – значение критерия оптимальности для первой стадии; f_N-1(X₂) – максимальное значение критерия оптимальности для N-1 стадий процесса от последней стадии.

Уравнение (13) представляет собой рекуррентное соотношение, определяющее связь между N-й и (N-1)-ой стадиями процесса, считая от последней. Оно позволяет, зная оптимальные управления для N-1 стадии процесса, считая от последней стадии, и зависимость f_N-1(x₂), определить оптимальное управление U_1opt.

Сущность метода динамического программирования заключается в том, что решение исходной задачи N-стадийного процесса сводится к решению последова-тельности задач: двухстадийной, трехстадийной и т.д. вплоть до N-стадийной. При этом определение оптималь-ных уравнений начинают с последней стадии. Задачи указанной последовательности решают с использованием рекуррентного соотношения (13).

Следует отметить, что существует множество задач, которые можно решить методом динамического програм-мирования; причем, используя этот метод, можно довольно просто решить ряд задач, решение которых другими методами невозможно или чрезвычайно сложно.

По сравнению с комбинаторными методами динами-ческое программирование имеет значительные преиму-щества. Так для N-стадийного процесса с n возможных состояний на каждой стадии общее число переборов составляет n^N, а метод динамического программирования потребует просмотра N·n вариантов.

Рассмотрим использование метода динамического программирования для оптимизации структуры процессов изготовления элементов летательных аппаратов из трех-слойных сотовых конструкций.

Выбор того или иного способа реализации техноло-гического процесса изготовления элементов ЛА из компо-зиционных материалов оказывает существенное влияние, как на частные технические решения, так и на принцип построения конструкции.

При этом конструкцию можно рассматривать как сложную систему &, принадлежащую множеству S, которое есть отношение на непустых множествах объектов произ-водства R и технологических процессов Т:

где - знак декартова произведения.

Задача оптимального выбора конструкции &* S решается в условиях разнообразия элементов множеств R и Т; R задается как отношение на множествах объектов производства r_j j-го наименования:

Где - множество объектов производства j-го наименования; J – множество наименований объектов производства.

Технологический процесс наряду с внешними сис-темными связями имеет сложную внутреннюю структуру. Он формируется путем объединения технологических опе-раций в соответствии с некоторой технологической схе-мой, связанной с преобразованием объекта производства. Технологический процесс можно представить в виде отношения

где - множество наименований техноло-гических операций l-го наименования; L – множество наи-менований технологических операций.

Разнообразие множеств R и Т приводит к много-альтернативному заданию системы &. Технико-эконо-мические показатели каждого варианта системы опреде-ляются желательными значениями некоторого набора по-казателей F_i (i= ). Поиск оптимального варианта приво-дит к необходимости организации эксперимента на ЭВМ с многоальтернативными оптимизационными моделями сложных систем, который позволяет осуществить выбор варианта системы с наилучшими показателями F_i* при объединении элементов из множества R в одно органи-зационное целое & с помощью принадлежащей множеству Т формы воздействия. Оптимизационная модель в этом случае представляется как задача оптимального выбора с одной или несколькими целевыми функциями и ограни-чениями на множестве альтернатив.

Конструкция стабилизатора ЛА, изображенного на рис.3.4. состоит из следующих основных элементов: передний и задний лонжероны (1); нервюры (2); сотовые панели (3); носок стабилизатора (4); законцовка стабилизатора (5).

Рис. 3.4.

Технологические схемы процессов изготовления трехслойной клееной панели имеют достаточно много вариантов и сложную структуру. Эти варианты могут быть представлены в виде графа, узлы которого обозначают отдельные этапы процесса, а дуги определяют возможные их сочетания и порядок следования. Каждой дуге графа могут быть поставлены в соответствие тела, которые характеризуют изменение различных свойств в процессе изготовления. В качестве таких характеристик можно использовать технологическую себестоимость, изменение массы конструкции, время изготовления и т.п.

На рис.3.5 представлен граф возможных этапов процесса изготовления трехслойной панели 3 (рис.3.4). На рисунке приняты следующие обозначения: S₁ – материал сотового заполнителя; t₁ – хлопчатобумажная ткань; t₂ – стеклоткань; t₃ – толстая стеклоткань; t₄ – бумага; t₅ – фольга алюминиевая; S₂ – изготовление сотового заполнителя; t₆ – профилирование листов ткани, пропи-танных связующим, с последующим склеиванием из них блоков; t₇ – профилирование листов, склеивание из них блоков с последующей пропиткой связующим; t₈ – изготовление сотового заполнителя из фольги, S₃ – подгонка размеров; t₉ – подгонка размеров элементов конструкций; S₄ – подготовка поверхностей к склеиванию; t₁₀ – обезжиривание под фенольнокаучуковые клеи; t₁₁ – обезжиривание под клей на эпоксидной основе; S₅ – выбор состояния массы клея; t₁₂ – клей жидкий; t₁₃ – клей плёночный; t₁₄ – клей твёрдый (порошок, расплав); S₆ – определение способов нанесения клея; t₁₅ – нанесение клея кистью; t₁₆ – нанесение клея пульверизатором; t₁₇ – нане-сение клея валиком; t₁₈ – нанесение клея прикаткой роликами; t₁₉ – нанесение клея-порошка на подогретую поверхность; t₂₀ – нанесение клея-расплава валиком на специальной установке; S₇ – установка обшивки; t₂₁ – склеивание элементов конструкции между собой; S₈ – склеивание слоистой конструкции; t₂₂ – склеивание в вакуумных мешках; t₂₃ – склеивание в автоклаве; S₉ – контроль геометрии и точности; t₂₄ – проверка геомет-рических параметров и точности изготовления; S₁₀ – контроль качества склеивания; t₂₅ – разрушающий метод контроля; t₂₆ – неразрушающий контроль качества скле-ивания.

Для постановки и решения задачи определения оптимального процесса изготовления готовой конструк-ции введём следующие переменные:

1, если процесс t_j выполняется после t_i;

X_i,j=

0, в противном случае.

a_k, если t_j-й процесс изменяет массу конструкции;

G _ij= 0, в противном случае

Рис. 3.5.

Тогда оптимизационная модель запишется в виде:

при ограничениях

Для решения поставленной задачи можно использовать рекуррентное соотношение вида (13):

где f_n (t) – масса конструкции, отвечающая стратегии минимальной для последовательности от этапа процесса t, если до конечного этапа осталось n шагов; j_n (t) – решения, позволяющие достичь f_n (t).

Используя алгоритм решения поставленной задачи, получим последовательность операций, обеспечивающих минимальную массу изготавливаемой конструкции:

t₅ – t₈ – t₉ – t₁₁ – t₁₄ – t₂₀ – t₂₁ – t₂₃ – t₂₄ – t₂₆

Характерной особенностью сформированного техно-логического процесса является использование клея-рас-плава, который наносится на готовый блок валиком на специальной установке. Полученное решение согласуется с современной практикой изготовления готовых конструк-ций, что подтверждает адекватность используемой матема-тической модели.

Подобную задачу относительно всего агрегата, а в этом случае исходный график будет иметь значительно больше узлов, можно решать с использованием ЭВМ.