Методы решения задач оптимального проектирования. Методы классического анализа.

Методы исследования функций классического анали-за представляют собой классические методы дифференци-ального исчисления.

Экстремум целевой функции Q(х) находят из необходимого условия его существования, состоящего в том, что производная в точке экстремума равна нулю. Тогда оптимальное решение Х* можно найти из системы уравнений:

(4)

Для того чтобы определить, является ли Х* точкой максимума или минимума, используют достаточные усло-вия существования экстремума.

Если уравнения (4) нелинейные, то решить их систему аналитическим путем удается редко. В этом случае используют ЭВМ и соответствующие численные методы или методы нелинейного программирования.

Проиллюстрируем реализацию методов классичес-кого анализа на примере распределения припуска между проходами при фрезеровании у деталей ЛА наружных контуров, контуров окон, выступов (рис3.3.).

Примем в качестве критерия оптимальности мА-шинное время станка при снятии припуска в один или два прохода, а в качестве ограничивающих зависимостей фор-мулы расчета режимов резания [4].

Время обработки Т_к наружного контура, контура окна или выступа длины L_обр будет

(5)

где Z – количество зубьев фрезы; n – частота враще-ния шпинделя; S’z – подача на зуб чернового прохода; S”z – подача на зуб чистового прохода.

При черновом проходе резание должно быть мак-симально интенсивным, т.е. величину S’z можно опре-делить по формуле:

S’_z=C_t,bDB^-0,2t^-0,5 мм/зуб, (6)

где C_t,b=0,008 (для конструкционных сталей) и 0,024 (для алюминиевых сплавов) при обработке их быстро-режущим инструментом; D – номинальный диаметр фрезы; B – высота фрезерования; t – припуск.

При чистовом проходе S”_z необходимо выбрать таким, чтобы упругие деформации режущего инструмента (фрезы) не вызывали погрешности обработки больше допустимых. Для расчета S”z можно воспользоваться формулой:

(7)

Где C_[Δ] = 4,65·10⁴ (для алюминиевых сплавов), C_[Δ] = 0,7·10⁴ (для сталей с σ_в = 900-1000 МПа); [Δ] – поло-жительный допуск на выполняемый размер; D₁ – приве-денный диаметр сечения фрезы, т. е такой диаметр, осевой момент инерции которого равен осевому моменту инерции фрезы; L – длина режущей части фрезы; В – высота фрезерования; Z – количество зубьев; t – припуск.

Рис. 3.3.

Для определения времени обработки подставим в формулу (5) выражения (6) и (7):

(8)

Где t₀ – общий припуск на обработку; t – припуск на черновой проход.

Обозначим

Тогда формула (8) примет вид

T_k = a₁t^0,5+a₂(t₀-t)^1,16

Время T_k будет минимальным, если , т.е.

0,5a₁t^0,5 – 1,16a₂(t₀-t)^0,16 = 0

или

Решая это уравнение находим требуемое решение. Среди положительных корней следует выбрать тот, кото-рому соответствует наименьшее время обработки T_k. Если найденное t отличается от t₀ на величину, не превы-шающую [Δ], то припуск t₀ можно снять за один проход.

Метод множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа в отличие от предыдущего подхода, позволяет решать задачи оптими-зации того же порядка сложности, но с ограничения на переменные типа равенств. Суть метода заключается во введении p неопределенных множителей и построении функции Лагранжа

Для определения оптимальных значений перемен-ных решают систему из n+p уравнений

(9)

относительно неизвестных x и λ.

Если (9) представляет собой систему нелинейных уравнений, то трудности их решения аналогичны решению системы (4). Следует отметить, что система (9) – это лишь необходимые условия существования экстремума; поэтому найденные решения необходимо проверить на экстремум анализом производных более высокого порядка или другими методами.

Для примера рассмотрим следующую задачу. По плану производства предприятию необходимо изготовить 180 изделий (например, сборки агрегатов ЛА). Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х₁ изделий

I способом затраты равны

4х₁+х₁² (руб.)

А при изготовлении х₂ изделий II способом они составят 8х₂+х₂² (руб.)

Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на произ-водство продукции были минимальными.

Математическая постановка состоит в определении минимального значения функции

f =4x₁+x₁²+8x₂+x₂²

при условиях

x₁+x₂=180, (10)

x₁,x₂≥0

Составим функцию Лагранжа

F(x₁,x₂,λ) = 4x₁+x₁²+8x₂+x₂²+λ(180-x₁-x₂),

Вычислим ее частные производные по х1, х2, λ и приравняем их нулю:

(11)

Перенося в правые части первых двух уравнений λ и приравнивая их левые части, получим

4+2х₁=8+2х₂, или х₁-х₂=2 (12)

Решая последнее уравнение (12) совместно с уравне-нием (10) находим

х₁*=91 и х₂*=89

Используя вторые частные производные, можно показать, что в найденной точке функция f имеет услов-ный минимум.