Задачи оптимального проектирования в сапр технологического назначения.

Под оптимальным понимают такое проектиро-вание, цель которого состоит в создании технологического процесса, не только выполняющего заданные функции, но и отвечающие некоторым заранее установленным крите-риям качества.

Проблема оптимального проектирования не нова. Человек всегда стремился к созданию лучших в опреде-ленном смысле машин и процессов. Однако только в пос-ледние несколько десятилетий, в условиях осознания человек ограниченности имеющихся у него в распоря-жении ресурсов и резкого обострения стремлений к созданию наилучших вариантов изделий и процессов их материализации – проблема оптимального проектиро-вания была чрезвычайно актуальной.

Анализ современного состояния проблемы опти-мального проектирования позволяет выявить следующие уровни ее решений.

Первому уровню соответствует решение задачи нахождения лучшего варианта технологического процесса, основанные на переборе нескольких рассчитанных вручную вариантов, т.е. без использования средств вычис-лительной техники, математических моделей и соответ-ствующих методов оптимизации. Например, при проекти-ровании технологического процесса для двух-трех вариантов базирования изделия можно выполнить необхо-димые расчеты, для каждого варианта оценить какой-либо критерий качества (точность, трудоемкость и др.), и затем выбрать наиболее подходящий вариант процесса.

На втором уровне формулировка задач оптималь-ного проектирования находит свое отражение в матема-тических моделях. Задачи решают с применением соответ-ствующих методов оптимизации, реализуемых вручную, то есть без применения средств вычислительной техники. Для этого уровня характерны несложные модели и методы оптимизации, что снижает качество получаемых решений.

К третьему уровню относятся задачи оптимального проектирования, сформулированные в виде математи-ческих моделей и решаемые с применением соответству-ющих математических методов оптимизации и на базе ЭВМ. Здесь используются более сложные математические модели и более точные методы оптимизации, что позво-ляет получать решения наиболее близкие к оптимальным.

К четвертому уровню отнесены задачи оптимального проектирования, решаемые в рамках САПР.

Решения проблемы оптимального проектирования в условиях САПР может быть связано с рядом трудностей, обусловленных тем, что в процессе автоматизированного проектирования могут быть получены варианты техноло-гического решения, для которых не предусмотрены соответствующие математические модели оптимизации. Следовательно, возникает задача обеспечения оператив-ного формирования математических моделей. Для этого необходимо создание специального проблемного языка и соответствующего программного обеспечения, реализу-ющих диалоговое построение моделей проектирования и выборы методов их решений.

Математические модели оптимального проектирования.

Математические модели оптимального проектиро-вания технологического процесса представляют собой формализованное описание критерия качества, условий, обеспечивающих выполнение заданных функций процесс-сом, требований, предъявляемым к отдельным парамет-рам процесса и др.

Именно в формировании математической модели заключается постановка задачи оптимального проектиро-вания технологического процесса, которой предшествует определение цели и соответствующего критерия оптими-зации. Например, при проектировании технологического процесса цели оптимизации могут состоять в обеспечении его минимальной трудоемкости, максимальной произво-дительности, минимальной технологической себесто-имости и др. Каждой их перечисленных целей оптималь-ного проектирования соответствует свой критерий опти-мальности (трудоемкость, производительность, технологи-ческая себестоимость и др.). Критерии оптимальности выражают целевыми функциями Q(х), представляющие собой математические зависимости их значений от пара-метров проектируемого технологического процесса.

Цели оптимизации могут иметь и более сложный характер, когда число показателей качества проектиру-емого технологического процесса (критериев оптималь-ности) более одного. В реальных условиях оптими-зационной задачи часто носит многокритериальный характер.

На первом этапе разработки математической моде-ли оптимального проектирования выявляют параметры процесса, влияющие на критерий (критерии) оптималь-ности последнего (последних) от этих параметров. Далее определяют параметрические, дискретизирующие и функ-циональные ограничения, накладываемые на параметры технологического процесса, для обеспечения выполнения им заданных функций.

Если всей совокупности параметров технологи-ческого процесса поставить соответствие некоторые n-мерное декартовое пространство проектирования Rⁿ , то оно будет состоять их двух частей – подпространство реальных процессов (допустимого подпространства проек-тирования D) и подпространство нереальных процессов. При этом подпространство реальных процессов образуется точками, координаты которых соответствуют значению параметров технологического процесса, удовлетворяющим указанным выше параметрическим, дискретизирующим и функциональным ограничениям.

Параметрическим называют ограничение M1 вида

x`_i ≤ x_i ≤ x``_i (1)

где x_i - i-тый параметр технологического процесса, x`_i и x``_i - соответственно минимально и максимально допусти-мые значения i-того параметра.

Совокупность ограничений (1) образует n-мерный параллелепипед в пространстве проектирования Rⁿ .

Дискретизирующие ограничения М₂ имеет вид

x_j = { x_j1, x_j2,...., x_jm } (2)

где x_j – j-тый параметр технического объекта, x_jk –допусти-мые дискретные значения j-того параметра ( k=1,2,...,m)

Ограничениями (2) n-мерный параллелепипед, образованный ограничениями (1), разрывается, и подпрос-транство реальных процессов размерности n переходит в совокупность подпространств размерности n-m. Так, если n=3, а m=1, то подпространство реальных процессов, представляющие собой трехмерный параллелепипед, переходит в совокупность его плоских сечений в точках множества (2).

Ограничения вида (2) накладывают на значения параметров либо в связи с их физической сущностью (например, параметр «число инструментов» в наладке может принимать только целые значения в некотором интервале), либо в связи с требованиями ГОСТов, ОСТов и др.

Функциональные ограничения M₃, накладываемые на параметры процессов, представляет собой условия связи их значений. Эти ограничения имеют вид

g_i (x)≤ 0; g_j (x)=0; g_k (x) <0. (3)

Функциональные ограничения еще более умень-шают объем допустимого подпространства проектиро-вания и усложняют его форму. Функциональными ограничениями при оптимальном проектировании техно-логических процессов могут быть условия: прочности, жесткости, точности, герметичности, и др. эти условия обеспечивают желаемые значения тех или иных техни-ческих характеристик и экономических показателей.

Таким образом, допустимое подпространство проек-тирования D представляет собой множество точек, удовлетворяющих ограничениям (1) -(3).

Определение ограничений (1)-(3) является чрезвы-чайно ответ­ственным этапом в процессе постановки и решения задач оптимально­го проектирования. Неучет каких-либо ограничений может привести к таким нежелательным эффектам, как невозможность реализации технологического процесса или низкий уровень технико-экономических и других показателей процесса. Вместе с тем, избыточные ограничения повышают сложность модели, используемых алгоритмов и методов решения за-дач, а также увеличивают затраты машинного времени.

Важное значение при постановке задач оптималь-ного проектиро­вания: имеет анализ совместимости пара-метрических, дискретизирую­щих и функциональных огра-ничений. При этом если окажется, что

D={x│M₁, M₂ , M₃ }=Ǿ,

т.е. допустимое подпространство проектирования яв-ляется пустым множеством, то следует пересмотреть ограничения (1) - (3) и выяс­нить противоречащие. По-иск оптимальных решений возможен, если D содержит хотя бы две точки. Указанный анализ можно выполнить про­веркой выполнения ограничений на реальном процесс-се или зондирова­нием подпространства D на ЭВМ.

Таким образом, задачу оптимального проектирова-ния формулиру­ют следующим образом.Найти такое x*Є D, для которого Q (х*)=min Q(x ), xЄ D

Найденное в результате решения задачи х* называ-ется оптимальным решением, а Q (х*) оптимальным зна-чением критерия оптимальнос­ти.

Сложнее формулировать многокритериальные зада-чи оптимального проектирования, в которых требуется определить такое значение век­тора параметров x*Є D, которое обеспечивало бы минимум одновре­менно по всем критериям оптимальности. При этом среди последних обычно есть и противоречивые, оптимизация по каждому из которых в отдельности приводит к разным значениям x*. В этих случаях, за­дача состоит в определении некото-рого компромиссного решения, для чего критерии опти-мальности объединяют в один - обобщенный критерий.

Известно множество способов построения обобщен-ных критериев. Среди них наиболее часто используют метод взвешенных сумм, согласно которому обобщенный критерий

Q(x)=∑ λ_i Q_i(x),

где Q_i(x), - i -й критерий оптимальности; λ_i – весо-вой коэффици­ент.

Значения весового коэффициента устанавливают ис-ходя из степе­ни важности того или иного критерия на основе опыта, интуиции или метода экспертных оценок. Наличие элемента субъективизма в опреде­лении λ_i - недостаток рассматриваемого метода. Известен и такой подход, когда задачу решают для нескольких сочетаний весовых коэф­фициентов, а затем выбирают наиболее подходящее решение.

Метод взвешенных сумм наиболее удобен для критериев оптимальности, измеряемых в одинаковых единицах или в относительных величинах.

Для равноценных критериев оптимальности обоб-щенный вектор можно построить в виде суммы

Q(x)=∑ {[Q_i(x)- Q*_i (x)]/ Q*_i(x)}

где Q_i(x) - i -й критерий оптимальности; Q*_i(x), - оптимальное значение i-того критерия, найденное при решении задачи с целевой функцией Q₀(x)= Q_i(x)

Если построение обобщенного критерия опти-мальности невозмож­но или нецелесообразно, то исполь-зуют способы оптимизации главно­го из многих критериев или последовательной оптимизации всех критериев. В первом случае по тем или иным соображениям выбирают наиболее важный критерий и оптимизацию выполняют по нему. Остальные критерии учитывают в виде ограничений на их значения. При последовательной оптимизации всех критериев поступают следующим образом. Сначала уста-навливают последовательность оптимизации критериев. Затем решают задачу оптимизации с одним первым крите-рием и находят его оптимальное значение Q*₁ . После это-го решают задачу оптимизации по второму критерию, но при этом в модель вводят допол­нительное ограничение

Q₁(x)= Q*₁ +δ₁

где δ₁ - уступка по первому критерию.

Аналогично решают задачи оптимизации по осталь-ным критериям с добавлением на каждом шаге в модель ограничений по предыдущим критериям. Таким образом, полученное в итоге оптимальное реше­ние x* во многом определяется значениями компонент вектора усту­пок δ₁ .

Для определения их наилучших значений можно решать задачу оптимизации по критерию

T(x)=min max (Q_i(x)- Q*_i - δ₁ )

После решения задачи многокритериальной оптими-зации исследователю предстоит на основе интуиции и опыта оценить полученные ре­зультаты. При этом мажет оказаться необходимым повторить решение задачи с другим обобщенным критерием или при других значениях ве­совых коэффициентов, вектора уступок и т.д. В этих условиях ocoбое значение при обретают системы диалого-вого взаимодействия чело­века с ЭВМ в процессе решения задач многокритериальной оптимиза­ции.

После построения математической модели оптималь-ного проекти­рования в первом приближении встает задача ее анализа, к целям ко­торого относятся: выявление выпук-лости, вогнутости, унимодальнос­ти (наличия у целевой функции одной точки экстремума и ее совпа­дение с глобальным экстремумом), многоэкстремальности (нали-чие у целевой функции нескольких локальных экстре-мумов), исследование совместимости ограничений; иссле-дование допустимого подпростран­ства проектирования, образуемого ограничениями; выявление адекват­ности модели проектируемому процессу.

Результаты анализа математической модели имеют важное значе­ние для правильного выбора необходимых при решении задачи матема­тических методов опти-мизации.