§3.1.6. Отображения множеств

Пусть даны два множества и . Отображением множества в называется правило, которое каждому элементу множества ставит в соответствие элемент множества . Если , то элемент множества называется образом элемента , а элемент в свою очередь называется прообразом элемента . Если , то под понимают множество всех образов элементов , т.е.

.

Если , то множество всех, для которых , называют полным прообразом множества . Образ элемента – один, а прообразов элемента из может быть несколько или может не быть.

Отображение, которое разные элементы переводит в разные, называется инъективным.

Инъективное отображение называют также взаимно однозначным отображением .

Отображение называется сюръективным, если для любого элемента из найдется элемент из такой, что .

.

Отображение одновременно сюръективное и инъективное называется биективным.

Сюръективное отображение называют также взаимно однозначным отображением . В этом случае говорят, что существует взаимно однозначное соответствие между элементами множеств , а множества называют эквивалентными или равномощными: .

Если отображение множества взаимно однозначно, то естественным образом определяется отображение множества , называемое обратным к и обозначаемое через . А именно, если , то существует единственный элемент , для которого . Поэтому можно положить .

Пусть – отображение , – отображение , причем Если и на совпадают, то отображение называется продолжением отображения , а отображение называется ограничением на и применяется обозначение: .

.

Упражнения

1. Доказать свойства эквивалентности множеств: а) ; б) ; в) .

2. Доказать, что .

3. Пусть – продолжение отображения , а – продолжение . Доказать, что – продолжение .

§3.1.7. Изоморфизм линейных пространств

Два линейных пространства V₁ и V₂ над полем К называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого

1. 

2. 

Отображение в этом случае называется изоморфизмом, а для линейных пространств применяется обозначение .

Для того, чтобы проверить является ли отображение изоморфизмом линейных пространств в соответствии с этим определением, надо убедиться, что

1. 

2. – сюръекция, т.е.

3. – линейное отображение, т.е. и

Свойства изоморфизмов:

1. 

2. где и – нулевые векторы и соответственно.

3. 

4. 

Теорема. При изоморфизме линейно независимая система переходит в линейно независимую.

Доказательство. Пусть – изоморфизм между линейными пространствами и над полем К и линейно независимы в . Предположим, что и – нулевые векторы и соответственно и

Тогда по свойству линейности , а в силу того, что – мономорфизм, . Из линейной независимости взятых векторов следует, что Это означает, что векторы линейно независимы. ■

Теорема. Все линейные пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть и базис . Любой вектор можно разложить по базису: .

Докажем, что . Для этого проверим, что отображение – инъекция, сюръекция и линейное. Соответствие действительно отображает в , так как каждому вектору в фиксированном базисе ставится в соответствие единственный набор коэффициентов. Если векторы различны, то хотя бы в одной координате они отличаются, поэтому – инъекция. Если , то в существует элемент и при этом , т.е. – сюръекция. Столь же очевидна и линейность отображения . Если , , то и , т. е. , .

Так как все линейные пространства над К изоморфны , то они изоморфны между собой. ■

Замечание. Изоморфизм как бы “срисовывает” структуру линейного пространства. Поэтому утверждение теоремы можно трактовать так: линейные пространства одной и той же размерности с алгебраической точки зрения тождественны.