1.2.2. Множества и операции над ними

Множеством называется совокупность каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристическим свойством. Под характеристическим свойством элементов некоторого множества понимают такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они.

Запись А = {a₁, a₂, a₃, …} означает, что множество А состоит из элементов a₁, a₂, a₃, …; подобным образом запись А = {x: Q(x)} обозначает, что множество А состоит из элементов х, обладающих характеристическим свойством Q(x).

Принадлежность элемента а к множеству А обозначается , если же а не принадлежит А, то пишут .

Если множество А не включает в себя ни одного элемента, то говорят, что множество А пустое и пишут А = Ø.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А. При этом говорят, что В включено в А и пишут , где – символ включения.

Множество А равно множеству В тогда и только тогда, когда множество А является подмножеством В и наоборот, т. е. , если и .

Множество В называется собственным подмножеством множества А, если и . Отношение собственного подмножества обозначают , где – символ строгого включения.

❒ Пример 1.1. Определение элементов множеств.

Пусть в качестве исходных данных выступает следующий набор букв «Витвитский Евгений Владиславович». Найдем множества букв: И – в имени, О – в отчестве, Ф – фамилии:

Ф = {в,и,т,с,к,й};

И = {е,в,г,н,и,й};

О = {в,л,а,д,и,с,о,ч}. ❒

Часто бывает полезно ввести столь обширное множество, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество U называется универсальным множеством (универсумом). Универсальное множество графически изображают при помощи прямоугольника (рис. 1.2). Изображение множеств в виде областей этого прямоугольника называется диаграммой Эйлера-Венна.

Рис. 1.2. Универсальное множество и операция дополнения

Дополнением множества А до универсального множества U называется множество всех тех элементов универсума U, которые не принадлежат множеству А (рис. 1.2).

Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое через А  В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В (рис. 1.3).

Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое через А  В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В (рис. 1.3).

Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А \ В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В (рис. 1.3).

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А Δ В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит либо множеству А, либо множеству В и не принадлежит обоим множествам (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Бинарные операции над множествами

Введенные теоретико-множественные операции обладают следующими свойствами:

• А  В = В  А;

• А  В = В  А;

• А  (В  С) = (А  В)  С;

• 4) А  (В  С) = (А  В)  С;

• 5) А  А = А;

• 6) А  А = А;

• 7) А  (В  С) = (А  В)  (А  С);

• 8) А  (В  С) = (А  В)  (А  С);

• А \ (В  С) = (А \ В)  (А \ С);

• А \ (В  С) = (А \ В)  (А \ С);

• А  Ø = А;

• А  Ø = Ø;

• А  U = U;

• А  U = А;

• = А;

• ;

• ;

• А  = U;

• А  = Ø;

• U \ А = ;

• А \ B = А  ;

• А Δ B = (А  В) \ (А  С);

• А Δ B = А Δ B;

• А Δ (В Δ С) = (А Δ В) Δ С;

• А  (В Δ С) = (А  В) Δ (А  С);

• (А \ В)  (В \ А) = Ø.

❒ Пример 1.2. Выполнение операций над множествами.

Найдем множества А₁ А₂, … , А₅ путем выполнения основных операций над множествами Ф, И, О из примера 1.1:

А₁ = Ф  И  О = {в,и,т,с,к,й}  {е,в,г,н,и,й}  {в,л,а,д,и,с,о,ч} = {в,и,т,с,к,й,е,г,н}  {в,л,а,д,и,с,о,ч} = {в,и,т,с,к,й,е,г,н,л,а,д,о,ч};

А₂ = Ф  И  О = {в,и,т,с,к,й}  {е,в,г,н,и,й}  {в,л,а,д,и,с,о,ч} = {в,и,й}  {в,л,а,д,и,с,о,ч} = {в,и};

А₃ = О \ И \ Ф = {в,л,а,д,и,с,о,ч} \ {е,в,г,н,и,й} \ {в,и,т,с,к,й} = {л,а,д,с,о,ч} \ {в,и,т,с,к,й} = {л,а,д,о,ч};

А₄ = А₅ О Δ И Δ Ф = {в,и,т,с,к,й} Δ {е,в,г,н,и,й} Δ {в,л,а,д,и,с,о,ч} = {т,с,к,й,е,г,н,л,а,д,о,ч};

А₅ = = U \ А₁ = U \ {в,и,т,с,к,й,е,г,н,л,а,д,о,ч} = {б,ё,ж,з,м,п,р,у,ф,х,ц,ш,щ,ъ,ы,ь,э,ю,я};

где U – множество всех букв русского алфавита. ❒