13. Модель Халла-Вайта.

Краткоср. безрис. проц. ставка (КБПС) в мире, нейтральном к риску, задается следующим образом:

Где - некоторые числа

- неслучайная функция времени.

Теорема.

В рамках Халла-Вайта КБПС распределена нормально со следующими параметрами:

Доказательство

ЧТД

Теорема

В условиях модели Халла-Вайта ст-ть любой облигации с нулевым купоном единичного номинала без дефолт-риска определяется равенством:

Доказательство

Доказательство основывается на общей теореме:

Теперь к самому доказательству

В условиях Модели Халла-Вайта функцию можно подобрать так, чтобы кривая рыночных доходностей совпадала с теоретической

13. 15. Барьерные опционы и их оценка

Барьерные опционы

Предположим, что для спот-цены баз. актива уст. нек. пороговое знач. Н (барьер).

В основе каждого бар. опциона лежит нек. небарьерный опцион.

Бар. опционы бывают 2-х видов:

1. Выходящий. Перестает существовать как небар. опцион как только спот-цена достигает барьера.

2. Входящий. Начинает существовать, когда спот-цена достигает барьера

Портфель из выход. бар. опциона и дополняющего его вход. б. опц. эквивалентен небарьерному опциону, лежащему в их основе.

Бар. опц. наз-ся входящим (выходящим) при понижении, если S_t > H. Соответственно, б.о. наз-ся выходящим (входящим) при повышении, если S_t < H.

Основные предположение:

1. рынки совершенны, торговля непрерывна во времени

2. баз. актив обладает непр. дивид. доходностью

3. спот-цена определяется ГБД ds=(µS)dτ+(σS)dw_τ

4. безрисковая ставка одинакова для всех сроков и неизмен. во времени

5. отсутствует арбитраж

6. цена бар. опциона есть ф-ция от спот-цены S на момент τ и самого момента τ, y=F(S, τ)

В этом случае F должно быть реш. ДУ в частных произв.:

(*)

Лемма y=F(S,τ) решение (*). Тогда y₁=S^λF(Q/S;τ), где Q – любое число, λ = 1 – 2 , также удовлетворяет (*).

Д-во:

▪

Бар. евр. опц. колл выходящий при понижении. down and out – стоимость этого опции. на мом. τ.

Теорема. Если Н≤Х

λ = 1 – 2 небар. евр. опц.

Д-во: нужно д-ть, что y(S,τ)= – реш. ДУ (*), вып-ся гранич. условия

y₁(S,τ)= реш (*)

y₂(S,τ)= реш (*)

y(S,τ)= y₁(S,τ)- y₂(S,τ)/Н^λ реш. как лин. комбинация решений

Гр. условия

1. Пусть S_τ=H, t < τ ≤T (в нек. мом. спот-уена равна барьеру)

Тогда ст-сть бар. опц. = 0

2. Если барьер не пробивается (S_τ>H, t < τ ≤T), то имеем обычный колл, тогда =max{S_T-X;0}▪

Следствие: Если Н≤Х, то ( )

Теорема 2: Пусть Н>Х, тогда

Гран. условия:

1. Пусть S_τ=H, t < τ ≤T (в нек. мом. спот-уена равна барьеру). х₁ = х₂, и стоимость бар. опц. равна 0.

2. Если барьер не пробивается (S_τ>H, t < τ ≤T), то имеем обычный колл, тогда =max{S_T-X;0}

▪

Следствие:

Барьерные бинарные опционы.

Держатель получает при исполнении фиксированную сумму (не завис. от спот-цены баз. актива). Платежная ф-ция бин. колл

F(S_T)=I(S_T)

I(z)=

Теорема: Если вып-ся все усл. модели Б-Ш, то ст-сть бин. евр. колл (небар) П^T(S,X,τ)=

Гран. условие:

Предположим, что вып-ся все усл. мод. Б-Ш

Тогда:

1. , H≤X

2. , H>X

Д-во:

y₂ аналогично.

Гран. условия:

1. Н≤Х.

S_τ=H, t < τ ≤T. =0

S_τ>H, t < τ ≤T.

2. Н>Х.

S_τ=H, t < τ ≤T. =

S_τ>H, t < τ ≤T.

, H≤X

, H>X