18. Дельта-гамма нормальный метод для оценки рисковой стоимости активов.
Даны некоторые активы, стоимость которых определяется n факторами и моментом времени τ:
Если F – дважды дифференцируемая функция, то доход за время Δτ:
Введем обозначения:
В отличие от дельта-нормального метода, утверждать, что доходность распределена нормально не можем.
Лемма:
Если
,
а
– положительно определенная матрица,
то
.
Доказательство:
Так
как
– симметричная положительная определенная
матрица
существует ортогональная матрица
Итак,
– независимые случайные величины (так
как некоррелированны и распр. нормально),
.
– величина,
распределенная по закону
.
Теорема:
Доход от актива за время τ оценивается в виде
положительно
определена.
Если
где
,
то
.
Доказательство:
Если
,
то
.
Согласно
одному из свойств рисковой стоимости
активов,
,
что равносильно
По
определению квантиля
.
Следствие:
В
условиях теоремы с учетом того, что
имеем:
Пример 1:
Пусть текущая стоимость портфеля из облигаций без риска дефолта равняется P. Считается, что кривая рыночных доходностей перемещается параллельно. Величина этого сдвига распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .
Рассмотрим функцию
Получаем систему:
Следовательно,
(так как
).
.
Пример 2:
Рассматривается купонная облигация с полугодовыми купонами, до погашения которой n полугодовых периодов:
Тогда:
Пример 3:
Оценка рисковой стоимости европейского опциона в модели Блека-Шоулса.
где .
Факторы риска: , . Далее находятся производные I и II порядка c и p по всем факторам риска. Это и будут дельта- и гамма-коэффициенты.
19. Оценка рыночных рисков на основе обобщенного распределения Фреше.
Распределение Фреше (ξ>0):
П
лотность
распределения Фреше
(при
):
Если СВ η имеет распределение Фреше, то
где
Свойство
обобщенного распределения Фреше: если
0 <
<
,
то
,
такой что
,
.
Следствие: чем больше ξ,
тем тяжелее правая ветвь распределения.
Рассмотрим
последовательность однодневных потерь
(независимы и одинаково распределены):
.
Пусть
такие
что
Найдем
Следовательно,
при достаточно больших n
имеет распределение Фреше.
Теорема.
Однодневные экстремальные
потери от активов имеют распределение
Фреше с параметрами ξ, µ,
. β
1.
Тогда
.
Доказательство.
Теорема.
Однодневные экстремальные
потери от активов имеют распределение
Фреше с параметрами ξ, µ,
. β
1.
Тогда
,
0<ξ<1
Доказательство.
Способы выбора параметра ξ обобщенного распределения Фреше:
независимы
и одинаково распределены, F(x)
– функция распределения
Для
можем упорядочить значения этих величин
по возрастанию:
…
– к-ая
верхняя порядковая статистика
Теорема.
Пусть
независимы и одинаково распределены,
F(x) – функция
распределения. Тогда
.
Теорема.
Пусть
независимы и одинаково распределены.
Если эти СВ имеют распределения Фреше
с параметрами с ξ,
µ, ,
то при
последовательность
Следствие.
,
где n достаточно
велико и
Тогда для оценки параметра ξ можно использовать оценку Хилла:
k
выбираем так, чтобы график зависимости
был почти горизонтальный.
Из МНК, используя мало измен. функции (
)
Из
системы находим оценку
,
определяем так, чтобы оставался хвост,
равный
Принцип максимального правдоподобия (самый точный):
Берем
логарифм этого выражения, ищем точку
глобального минимума на множестве
Остальные параметры (µ,) обобщенного распределения Фреше находим из системы:
