Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції під час розв’язання прикладних задач.

Задачі такого типу носять загальну назву - задачі на оптимізацію (від латин.optimum- найкращий).

У найпростіших задачах на оптимізацію маємо справу з двома величинами, одна з яких залежить від іншої, причому необхідно знайти таке значення другої величини, при якому перша досягає свого найменшого або найбільшого значення (найкращого за даних умов).

Задачі на оптимізацію розв’язують за схемою, що складається з трьох етапів математичного моделювання:

1. Складання математичної моделі;

2. Робота з моделлю;

3. Відповідь на запитання задачі.

І етап. (складання математичної моделі)

1. Виділіть величину оптимізації, проаналізувавши умову задачі (величину, про найбільше або найменше значення, якої йде мова). Позначте її буквою у (або S,V,R,t - залежно від умови, змісту).

2. Прийміть одну з невідомих величин, які задіяні в задачі, через котру порівняно легко можна виразити величину оптимізації, за незалежну змінну. Позначте її буквою х (або якоюсь іншою). Визначте реальні границі зміни незалежної змінної (відповідно до умов задачі), тобто область визначення Х для шуканої величини оптимізації.

3. Виходячи з умови задачі, виразіть у через х. Математична модель являє собою функцію у=f(х) з областю визначення Х, яку знайшли в кроці 2.

ІІ етап. (робота з моделлю)

Використовуючи алгоритм, знайдіть у_min або у_max залежно від того, що потрібно в умові задачі, для функції у=f(х), х Х.

ІІІ етап. ( відповідь на питання задачі).

Дайте конкретну відповідь на питання задачі, спираючись на результати, отримані на ІІ етапі.

Приклад. Бак, який має форму прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою, має вміщати 5 л рідини. При якій стороні основи площа поверхні бака (без кришки) буде найменшою?

Розв’язування:

І етап.

1. Величина оптимізації - площа поверхні бака, оскільки в умові треба визначити, коли ця площа буде найменшою. Позначимо її буквою S.

2. Площа поверхні залежить від вимірів прямокутного паралелепіпеда. Нехай незалежна змінна - сторона квадрата, який лежить в основі бака; позначимо її через х. Зрозуміло, що х>0. Інших обмежень немає, отже, х ( 0;+∞), тобто

Х= ( 0;+∞).

3. Якщо висота бака h (див. рис.), то V=x²h, отже, h= .

Запишемо вираз для знаходження площі поверхні: х² - площа основи, 4х* - бічна поверхня.

Складемо функцію: S=x²+ , х (0;+∞).

ІІ етап.

S=x²+ , х (0;+∞).

S ' =2x+4 ;

S ' = .

S ' існує, якщо всі х (0;+∞), отже, критичних точок немає.

Стаціонарні точки знайдемо з рівняння S '=0: 2х³-4V=0; х³=2V; x= .

x= - точка мінімуму, отже, згідно з теоремою, функція досягає свого найменшого значення, якщо x= .

ІІІ етап.

Сторона квадрата, який служить основою бака, дорівнює , тоді площа поверхні бака буде найменшою.

Загальна схема дослідження функції і побудови її графіка.

1.

• Знайти Д( у).

• Дослідити на парність.

• Дослідити на періодичність.

• Знайти нулі функції та точки перетину графіка з віссю ОУ.

2.

• Знайти F’(x).

• Знайти критичні точки.

• Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму.

3.

• Знайти F’’(x).

• Розв”язати рівняння F’’(x) = 0.

• Знайти точки перегину та проміжки випуклості і вогнутості, з умов: точка перегину; проміжок випуклості; проміжок вогнутості:

4.

• Знайти асимптоти: вертикальні – у точках розриву або з умови ;

• похилі (горизонтальні як частковий випадок) за формулою де

• При потребі обчислити координати контрольних точок.

• Побудувати графік функції.

• Знайти Е(у)

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1.Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 648 с.

Вища математика: Збірник задач: Навч. посібник / Дубовик В. П., Юрик І. І. та ін. – К.: Вища шк., 1999. – 480 с.

Вища математика: Підручник. У 2 ч. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне і інтегральне числення / 2.Овчинников П. П. та ін. – К.: Техніка, 2003. – 600 с.

Вища математика: Підручник. У 2 ч. Ч. 2: Диференціальні рівняння. Операційне числення. Ряди та їх застосування. Стійкість за Ляпуновим. Рівняння математичної фізики. Оптимізація і керування. Теорія ймовірностей. Числові методи / Овчинников П. П. та ін. – К.: Техніка, 2000. – 792 с.

3.Михайленко В. В., Добряков Л. Д. Вища математика. Підручник. Книга 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. – Житомир: ЖДТУ, 2004. – 554 с.

4.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. В 2 т. Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Ряды. – М.: Физматлит, 2005. – 400 с.

5.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т.1: - М.: Интеграл-Пресс, 2001. – 416 с.

6.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т.2:- М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.

7.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями. В 2 ч. Ч. 1: Учебное пособие для вузов. – М.: ОНИКС 21 век, 2002. – 304 с.