Знаходження найбільшого і найменшого значення функції.

Нехай дано функцію у=f(х), яка неперервна на відрізку [a;b]. Тоді аналізуючи вказані геометричні моделі, можна зробити такі висновки.

1. Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на ньому свого найменшого і найбільшого значення. (Доведення наводиться в курсі математичного аналізу в вузах.)

2. Найбільшого і найменшого значення неперервна функція може досягати як на кінцях, так і всередині відрізка.

а) б) в)

На рис. а) : всередині [a;b].

На рис. б) : у _найм - всередині [a;b], у _найб - на кінцях [a;b];

На рис. в) : на кінцях [a;b].

3. Якщо найбільше(найменше)значення досягається всередині відрізка, то тільки в стаціонарній або критичній точці.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції.

1. Знайдіть похідну у=f(х).

2. Знайдіть стаціонарні та критичні точки, які належать відрізку [a;b].

3. Обчисліть значення функції у=f(х) у точках, які відображені кроком 2 , та в точках a і b.

4. Порівняти всі отримані значення й вибрати серед них найменше (це буде унайм) та найбільше (це буде унайб).

5. Записати відповідь: min f(х)=f(a)=A; max f(х)=f(b)=B.

^{[a;b] [a;b]}

Приклад. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х)=х³-3х²-45х+2 на відрізку [-5;7].

Розв’язання:

f '(х)= 3х²-6х-45.

f '(х) існує для всіх х R, отже, критичних точок немає, а стаціонарні точки знайдемо з умови f '(х)=0.

Тоді 3х²-6х-45=0, х₁= - 3, х₂=5.

-3 [-5;7]

f(- 5)= (- 5)³-3* (-5)²-45* (-5)+2= - 125-75+225+2=27;

f(- 3)= (- 3)³-3* (-3)²-45* (-3)+2= - 27-27+135+2=83;

f(7)= 7³-3* 7²-45* 7+2=343-147-315+2= - 117;

- 117<27<83;

min f(х)=f(7)= - 117; max f(х)=f(- 3)= 83.

^{[- 5;7] [- 5;7]}

А як знайти найбільше або найменше значення функції, неперервної на незамкнутому проміжку, наприклад на інтервалі.

Нехай функція у=f(х) неперервна на проміжку (a;b) та має всередині його єдину стаціонарну або критичну точку х₀. Тоді, якщо: х₀ - точка максимуму , то max f(х)=f(х₀).

^(a;b)

х₀ - точка мінімуму , то min f(х)=f(х₀).

^(a;b)

Приклад. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у= для [0;+∞).

Розв’язання:

у'= = = ;

у ' існує для всіх х R, отже, критичних точок немає.

Стаціонарні точки знайдемо з рівняння у=0.

1-х²=0, х= ±1, - 1 [0;+∞); 1 [0;+∞).

х ₀=1 - точка максимуму, тоді у_max=у(1)= = ;

max y=y(1)= .

^[0;+∞)

Ще у XIX ст. російський математик Пафнутій Львович Чебишев наголошував, що особливу важливість мають ті методи науки, які дозволяють розв’язувати задачу, спільну для всієї спільної практичної діяльності людини: як вчинити зі своїми засобами ( коштами) для досягнення найбільшої вигоди.

У наш час з такими проблемами стикаються представники різних спеціальностей: інженери-технологи проектують виробництво так, щоб продукції випускалось як найбільше; конструктори літальних апаратів розробляють прилади як омога з меншою масою; економісти намагаються спланувати зв’язки заводу з джерелами сировини так, щоб транспортні витрати виявились мінімальними, і т.д.