Екстремальні точки. Локальний екстремум функції.

• Поняття екстремуму функцій та локального екстремуму функції.

Теорема. Якщо функція y=f(x) має екстремум у точці х=х₀ , то в тій точці похідна функції або дорівнює нулю, або не існує.

Для зручності будемо називати внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю, стаціонарними, а внутрішні точки області визначення функції, у яких функція неперервна , але похідна не існує, - критичними.

• Необхідна умова екстремуму функції.

Теорема Ферма. Якщо х₀ - точка екстремум диференційованої функції y=f(x) , то

f ' (x₀) =0 .

Якщо f(x)=х³, то f ' (x) =3х² , f ' (x) ≥0 для х R, але в точці х₀=0 f ' (x)=0. Отже, функція зростаюча.

Отже стаціонарні та критичні точки можуть бути тільки точками , які «підозрюються» в тому, щоб називатися точками екстремуму, або точками, «підозрюваними» на екстремум.

• Достатня умова екстремума функції.

Якщо f ' (x) змінює знак при переході через стаціонарну точку х₀

з «-» на «+» , то х_max=x₀

з «+» на «-» , то х_min=x₀

Приклад. Знайдіть екстремуми функції y=3х⁴-8х³+6х²-1.

Розв’язання:

1. D (y)=R;

2. у ' = 3*4х³-8*3х²+6*2х=12х³-24х²+12х=12х (х²-2х+1)=12х (х-1)²;

3. у ' =0, якщо х=0, х=1 - дві стаціонарні точки.

4. П окажемо знак у ' , визначимо точки екстремуму

х_min=0, х_min= - 1

Ознайомтесь з матеріалом підручника §16, с.96.

• Дослідить функцію у= на монотонність та екстремум.

Розв’язання:

1. D (y): х² ≠0, х≠0, х ( - ∞; 0) ( 0; + ∞); функція неперервна на D (y);

2. у ' = = = = = = = ;

3. у ' =0, якщо х₁= , х₂= - - це стаціонарні точки.

у ' не існує в точці х=0, але 0 не є критичною точкою, бо х=0 - точка розриву функції.

4. На рисунку зображено проміжки зростання і спадання у залежно від знака у.

5. Функція зростає, якщо х (- ; 0) і х ( ; + ∞);

функція спадає, якщо х (- ∞; - ) і х ( 0; ) .

Отже, у_min=у (- )= = = =2 =4 ;

у_min=у ( )= = = =2 =4 .

Відповідь: функція зростає, якщо х (- ; 0) і х ( ; + ∞);

функція спадає, якщо х (- ∞; - ) і х ( 0; );

у_min=4 .

Зазвичай стаціонарна точка, якщо вона не є точкою екстремуму, може бути точкою перегину.

Для визначення форми графіка необхідно провести дослідження на «округлість - угнутість». Це здійснюється за допомогою f ' ' (x), тобто знак другої похідної залежіть від форми графіка.

Проміжки випуклості-вогнутості, точки перегину:

• З найти точки перегину та проміжки округлості і угнутості, з умов: точка перегину; проміжок округлості; проміжок угнутості:

Наприклад: f (x)=х³, f ' (x)=3х², f ' ' (x)=(3х²)'=6х.

6 x>0, якщо x>0 + - «келих» повний (функція угнута)

6 x<0, якщо x<0 - - «келих» порожній (функція округла).