Упражнения 5.4,а

1. В примере 5.4–1 этап 1 решения задачи показывает, что существует два альтернативных оптимума: y₁ = 0 и у₁ = 2. Покажите, что применение стратегии у₁ = 2 (т.е. инвестировать все деньги в начале первого года) не изменяет результата инвестиционной политики на протяжении трех лет, а именно, соответствующая максимальная вероятность достижения цели сохраняется равной 0.3.

2. Решите задачу из примера 5.4-1, если целью инвестора является максимизация вероятности достижения, по меньшей мере, суммы в 6 000 долларов к концу третьего года. Инвестор имеет в своем распоряжении 1000 долларов, и вероятность удвоения суммы на протяжении каждого года равна 0.6.

3. Вы и ваш друг хотите сыграть в казино в следующую игру. Вы делаете определенную ставку, и каждый из вас независимо подбрасывает симметричную монету. За каждый доллар суммы ставки казино заплатит три доллара, (что дает чистую прибыль в 2 доллара), если в результате подбрасывания выпадут две решки. Иначе вы теряете сумму ставки. Если вы с другом имеете в сумме один доллар, определите стратегию игры, считая, что целью является максимизация вероятности окончания трех игр с суммой в 4 доллара.

Литература

Bertsekas D. Dynamic Programming: Deterministic and Stochastic Models, Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1987.

Cooper L. and Cooper M. Introduction to Dynamic Programming, Pergamon Press, N. Y., 1981.

Smith D. Dynamic Programming: A Practical Introduction, Ellis Horwood, London, 1991.

Комплексные задачи

5-1. Компания использует грузовые автомобили для доставки заказов покупателям и планирует заменить свои автомобили на протяжении последующих пяти лет. Годовые затраты, связанные с использованием нового грузовика, являются нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 долларов и среднеквадратическим отклонением 50 долларов. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение годовых эксплуатационных затрат через год возрастают на 10%. Стоимость нового грузового автомобиля в настоящее время равна 20 000 долларов и через год возрастет, как ожидается, на 12%. Грузовые автомобили используются чрезвычайно интенсивно, поэтому существует вероятность того, что каждый из них может сломаться в любое время, после чего ремонту не подлежит. Имеется возможность сдать старый автомобиль при покупке нового. При этом стоимость старого автомобиля зависит от того, находится ли он в рабочем состоянии. В начале шестого года автомобиль подлежит продаже по цене, которая также зависит от его состояния (аварийное или рабочее). Приведенная ниже таблица содержит данные, описывающие ситуацию в зависимости от возраста автомобиля.

Возраст автомобиля (года)	0	1	2	3	4	5	6
Вероятность поломки	0.01	0.05	0.10	0.16	0.25	0.40	0.60

Если автомобиль использовался 1 год и находится в рабочем состоянии, то его стоимость равна 70% от начальной и за год уменьшается на 15%. Если же он находится в аварийном состоянии, то соответствующие показатели уменьшаются в два раза. Стоимость автомобиля в виде испорченного имущества в начале шестого года составляет 200 долларов, если он находится в рабочем состоянии, и 50 долларов, если он аварийный. Разработайте оптимальную политику замены автомобилей.

149