Упражнение 5.2, а

1. Пусть в задаче из примера 5.2-1 по периметру колеса расставлены числа от 1 до 8 и вероятности остановки колеса на каждом из этих чисел одинаковы. Предполагая, что каждая игра состоит не более чем из пяти вращений колеса, определите оптимальную стратегию игры.

2. Я хочу продать свой подержанный автомобиль тому, кто предложит наивысшую цену. Изучая автомобильный рынок, я пришел к выводу, что с равными вероятностями мне за автомобиль могут предложить очень низкую цена (около 1050 долларов), просто низкую цену (около 1900 долларов), среднюю цену (около 2500 долларов) либо высокую цену (примерно 3000 долларов). Я решил помещать объявление о продаже автомобиля на протяжении не более трех дней подряд. В конце каждого дня мне следует решить, принять ли наилучшее предложение, поступившее в течение этого дня. Какой должна быть моя оптимальная стратегия относительно принятия предложенной цены за автомобиль?

5.3. Задача инвестирования

Некто планирует инвестировать С тысяч долларов через фондовую биржу в течение последующих п лет. Инвестиционный план состоит в покупке акций в начале года и продаже их в конце этого же года. Накопленные деньги затем могут быть снова инвестированы (все или их часть) в начале следующего года. Степень риска инвестиции представлена тем, что прибыль имеет вероятностный характер. Изучение рынка свидетельствует о том, что прибыль от инвестиции зависит от т условий рынка (благоприятных или неблагоприятных). При этом условие i приводит к прибыли r_i с вероятностью p_i, i = 1, 2, ..., т. Как следует инвестировать С тысяч долларов для наибольшего накопления к концу п лет?

Обозначим

x_i – сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале i-го года (х₁=С),

y_i – сумма реальной инвестиции в начале i-го года (у_i ≤ х_i).

Элементы модели ДП можно описать следующим образом.

1. Этап i представляет i-й год инвестирования.

2. Альтернативами на этапе i являются величины y_i.

3. Состояние системы на этапе i описывается величиной х_i.

Пусть f_i(x_i) — максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за года от i до п при условии, что в начале i-го года имеется сумма x_i. Для k-го условия рынка имеем следующее.

Так как вероятность k-го условия рынка равна p_k, рекуррентное уравнение динамического программирования имеет следующий вид.

где , так как после n-го года инвестиций нет. Отсюда следует, что

,

поскольку функция в фигурных скобках является линейной по у_n и, следовательно, достигает своего максимума при у_n = х_n.

Пример 5.3-1

Пусть в предыдущей модели инвестирования объем инвестиции составляет С =10 000 долларов на 4-летний период. Существует 40%-ная вероятность того, что вы удвоите деньги, 20%-ная — останетесь при своих деньгах и 40% — потеряете весь объем инвестиции. Необходимо разработать оптимальную стратегию инвестирования.

Используя принятые в модели обозначения, имеем следующее.

Этап 4.

.

Отсюда порлучаем

Состояние	Оптимальное решение
	f4(x4)
x4	1.4x4	x4

Этап 3.

Поэтому имеем

Состояние	Оптимальное решение
	f3(x3)
x3	1.96x3	x3

Этап 2.

Отсюда следует

Состояние	Оптимальное решение
	f2(x2)
x2	2.744x2	x2

Этап 1.

Имеем

Состояние	Оптимальное решение
	f1(x1)
x1	2.744x1	x1

Оптимальную инвестиционную политику можно сформулировать следующим образом. Так как для i = 1, 2, 3, 4, то оптимальным решением является инвестирование всех наличных денежных средств в начале каждого года. Накопленные денежные средства к концу четырех лет составят 3.8416x₁ = 3.8416  10000 = 38416 долларов.