Треугольники напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей

Как известно, любая электрическая цепь состоит или может быть представлена в виде двухполюсников. Пассивный двухполюсник однозначно определяется значениями тока и напряжения на входе или их отношением.

Пусть через некоторый двухполюсник протекает переменный ток и существует падение напряжения. Изобразим ток и напряжение на входе двухполюсника векторами на комплексной плоскости I и U (рис. 1).

Проектируя вектор U на направление вектора I (рис. 1 а)), получим вектор, модуль которого равен U_а=Ucos , где  - разность начальных фаз напряжения и тока на входе двухполюсника, причем, направление вектора U_а совпадает с направлением вектора тока, поэтому его запись в показательной форме будет иметь вид

,

(1)

где  _i - начальная фаза тока на входе двухполюсника.

Перпендикуляр, опущенный из конца вектора U на направление вектора тока, имеет длину Usin и может рассматриваться как некоторый вектор U_р , сумма которого с вектором U_а равна U (рис. 1 а)). Его также можно записать в показательной форме в виде

.

(2)

Оператор поворота j в выражении (2) учитывает перпендикулярное положение вектора U_р по отношению к I и условие U_а + U_р = U.

Так как по построению векторы U_а и U_р в сумме равны U, то из выражений (1) и (2) вектор напряжения на входе двухполюсника можно представить как

.

(3)

Разделим выражение (3) на модуль вектора тока

.

(4)

Выражение (4) соответствует представлению на комплексной плоскости вектора Z, равного комплексному сопротивлению двухполюсника и развернутого относительно вещественной оси на угол _i. При этом вектор Ze^j e ^{j i}=Ze^j( u  i+ i)= Ze ^{j u} образует с вещественной осью комплексной плоскости угол _u , т.е. оказывается совпадающим по направлению с вектором U.

Сравнивая вещественные и мнимые части выражений (3) и (4), можно представить модули составляющих вектора U в виде

,

(5)

т.е. модуль составляющей U_а , называемой активной или резистивной составляющей напряжения на входе двухполюсника, представляет собой падение напряжения на резистивной составляющей его комплексного сопротивления при токе I . Аналогично, модуль вектора U_р , называемого реактивной составляющей входного напряжения, является падением напряжения на реактивной составляющей комплексного сопротивления.

Рассмотренным соотношениям величин соответствует представление двухполюсника последовательным соединением резистора R и реактивного сопротивления X, представленным на рис. 1 а).

Таким образом, вектор падения напряжения на входе двухполюсника может быть представлен двумя составляющими, одна из которых является его проекцией на направление вектора входного тока и называется активной (резистивной) составляющей или активным падением напряжения. Активная составляющая соответствует падению напряжения на резистивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы двухполюсника. Вторая составляющая перпендикулярна вектору тока и соответствует падению напряжения на реактивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы.

Прямоугольные треугольники U U_аU_р и ZRX (рис. 1 а)) подобны и называются соответственно треугольниками напряжений и сопротивлений.

 ЗАДАЧА 1

 Спроектируем теперь вектор тока I на направление вектора падения напряжения U (рис. 1 б)). Длина проекции будет равна I_а=Icos , а длина проектирующего перпендикуляра - I_р=Isin . Представим эти отрезки векторами с учетом того, что I_а совпадает с направлением вектора падения напряжения на входе двухполюсника, а в сумме эти два вектора должны быть равны I . Тогда в показательной форме -

	(6)
	(7)

Множитель  j является оператором поворота отрезка I_р на 90 в направлении отставания, чтобы обеспечивалось условие I_а + I_р = I .

Представим теперь вектор тока через полученные составляющие

.

(8)

Разделим выражение (8) на модуль вектора U -

.

(9)

Таким образом, из прямоугольного треугольника, составленного из векторов I_а, I_р и I и описанного выражением (8), делением на постоянную величину U всех его сторон мы получили подобный треугольник, описываемый выражением (9). Стороны нового треугольника имеют размерность проводимости и связаны с составляющими вектора тока законом Ома

.

(10)

Следовательно, активную и реактивную составляющую вектора тока можно представить, в виде токов, протекающих через активную (резистивную) проводимость G и реактивную проводимость B эквивалентной параллельной схемы двухполюсника (рис. 1 б)).

Прямоугольные треугольники I I_аI_р и YGB (рис. 1 б)) подобны и называются соответственно треугольниками токов и проводимостей. Очевидно, что треугольники токов и проводимостей подобны треугольникам напряжений и сопротивлений, т.к. имеют одинаковые углы.

Обобщая понятия составляющих векторов тока и напряжения на входе двухполюсника, можно сделать следующие выводы:

• активная (резистивная) и реактивная составляющие вектора напряжения на входе двухполюсника соответствуют падениям напряжения на резистивном и реактивном сопротивлениях последовательной эквивалентной схемы (схемы R-X);

• активная (резистивная) и реактивная составляющие вектора тока на входе двухполюсника соответствуют токам, протекающим через резистивную и реактивную проводимости параллельной эквивалентной схемы (схемы G-B);

• понятиями активной и реактивной составляющих тока и напряжения можно пользоваться, не связывая их с какой-либо эквивалентной схемой двухполюсника, т.к. из подобия треугольников напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей следует взаимно однозначная связь этих величин.