Последовательное и параллельное соединения Эквивалентные параметры

В последовательное соединение в цепях переменного тока кроме резисторов могут входить реактивные элементы - индуктивности и емкости.

Пользуясь понятием потенциала, падение напряжения на последовательном соединении (рис. 1) можно представить суммой падений напряжений на отдельных элементах

(1)

Последовательное соединение не содержит узлов, поэтому по всем его элементам протекает одинаковый ток. Пусть этот ток равен i=I_msint, тогда, с учетом выражений для падения напряжения на реактивных элементах, выражение (1) преобразуется к виду

(2)

Таким образом, в последовательном соединении все резисторы, индуктивности и емкости можно заменить эквивалентными элементами R, L и C , причем

.

(3)

Из выражений (3) следует, что эквивалентные сопротивление и индуктивность больше наибольшего из значений параметров элементов, входящих в соединение, а эквивалентная емкость - меньше наименьшего из значений. Иначе говоря, последовательное подключение в цепь сопротивления или индуктивности увеличивает их эквивалентные значения, а последовательное подключение емкости - уменьшает.

Рассмотренные выше преобразования последовательного соединения не затрагивали входящих в него источников ЭДС. Это связано с тем, что во временной области ЭДС являются синусоидальными функциями с различными начальными фазами. Поэтому их преобразование лучше провести, перейдя к изображениям комплексными числами и векторами.

Как известно, операции суммирования в области оригиналов соответствует суммирование и в области изображений. Отсюда

,

(4)

где E и e - изображение и оригинал эквивалентного источника ЭДС, т.е. любое количество последовательно соединенных источников ЭДС можно заменить одним эквивалентным, значение ЭДС которого равно алгебраической сумме ЭДС, входящих в соединение.

После того, как резисторы, индуктивности, емкости и ЭДС заменены эквивалентными параметрами и элементами можно определить комплексное сопротивление пассивных элементов

.

(5)

Мнимая часть комплексного сопротивления Z может быть положительной или отрицательной в зависимости от того какое сопротивление больше, индуктивное x_Lили емкостное x_C . При положительном значении реактивной составляющей комплексного сопротивления X, соединение L-C можно представить индуктивностью L', реактивное сопротивление которой x_L' равно X . Отсюда значение эквивалентной индуктивности

,

(6)

где L и C - значения эквивалентной индуктивности и емкости, определенные из выражений (3). В случае X<0 , реактивные элементы, входящие в последовательное соединение можно представить эквивалентной емкостью

.

(7)

Таким образом, в случае заданного значения частоты последовательное соединение можно представить последовательным соединением резистора, реактивного элемента и источника ЭДС, параметры которых определяются по выражениям (3), (4), (6) и (7). Резистор, реактивный элемент и источник ЭДС являются минимальным набором элементов, с помощью которых можно представить последовательное соединение. При наличии в цепи реактивных элементов обоих типов (индуктивности и емкости) в минимальном наборе элементов (минимальной эквивалентной схеме) будет присутствовать только один из них.

При отсутствии каких-либо элементов в исходной схеме, например резисторов или источников ЭДС, будут отсутствовать и соответствующие компоненты эквивалентного представления.

ЗАДАЧА 1

Перейдем теперь к рассмотрению параллельного соединения элементов цепей переменного тока.

В параллельное соединение (рис. 2) могут входить резистивные и реактивные элементы, а также источники тока.

Источники ЭДС не могут соединяться параллельно, т.к. , если два источника e₁ и e₂ подключены к узлам a и b, то u_ab= e₁ и u_ab= e₂ , что возможно только при e₁ = e₂.

Общий ток, протекающий через соединение в целом, представляет собой сумму токов, протекающих через отдельные элементы. Поэтому можно написать

(8)

Все элементы соединения подключены к двум узлам, разность потенциалов которых является падением напряжения на каждом элементе. Пусть это напряжение u равно U_msin t. Тогда

(9)

Из выражения (9) следует, что в параллельном соединении все резисторы, индуктивности и емкости можно заменить эквивалентными элементами R , L и C , значения которых определяются выражениями

(10)

Из этих выражений следует, что параллельное подключение резистора или индуктивности уменьшает их эквивалентные значения, а параллельное подключение емкости - увеличивает эквивалентную емкость. Эквивалентное сопротивление R и индуктивность L всегда меньше наименьшего из параметров элементов, образующих соединение. В то время как эквивалентная емкость C - больше, чем самая большая емкость параллельного соединения.

Для определения тока эквивалентного источника воспользуемся представлением токов комплексными числами аналогично тому, как это было сделано для ЭДС последовательного соединения

(11)

т.е. путем перехода к изображениям в виде комплексных чисел, а зетам обратного перехода во временную область можно получить параметры эквивалентного источника тока J, заменяющего собой все источники входящие в соединение.

Комплексная проводимость соединения может быть выражена через эквивалентные параметры следующим образом

.

(12)

В зависимости от соотношения значений емкостной и индуктивной проводимостей b_L и b_C , реактивная составляющая комплексной проводимости B может быть положительной или отрицательной. В первом случае, параллельное соединение L-C можно представить емкостью C', проводимость которой равна B. Во втором случае, реактивную проводимость можно создать эквивалентной индуктивностью L'. Значения L' и C' можно определить как

.

(13)

Следовательно, при заданной частоте параллельное соединение, также как и последовательное, можно представить минимальным набором элементов, включающим параллельно соединенные резистор, реактивный элемент и источник тока. Тип реактивного элемента (индуктивность или емкость) определяется знаком эквивалентной реактивной проводимости.

Следует особо подчеркнуть, что выражения (3) и (10) не содержат частоты  в качестве параметра. Поэтому они справедливы всегда и применяются как для расчетов, так и при операциях с реальными объектами. Например, две соединенные последовательно катушки индуктивности в 40 и 60 мГн можно заменить одной с индуктивностью в 100 мГн. В то же время, переход к одному реактивному элементу (выражения (6), (7) и (13)) возможен только для конкретного значения частоты и применяется чаще всего в расчетных задачах.