5. Жалған кездейсоқ сандарды моделдеу. Жалған кездейсоқ сандар және оларды моделдеу принциптері, қию, конгруэнттік әдістері

Жалған кездейсоқ сандар деп, кездейсоқ шаманың маетматикалық өрнектерінің көмегімен, дәлірек айтқанда рекуренттік қатынастар арқылы алынған нақтыламаларын айтады. Жалған кездейсоқ сандардың ықтималдық қасиеттерінен айырмашылығы болатыны айқын. Оларға қойылатын талаптар: бірқалыпты үлестірімді, статистикалық тәуелсіз, қайталанбайтын сандардан тұруы тиіс.Кездейсоқ сандардың генераторы сандарды алу әдістеріне қарай:физикалық, кестелік және алгоритмдік болып бөлінеді.

Физикалық КСГ: 1)тиын («орел» — 1, «решка» — 0); 2)Ойын сүйегі;

3)Сызықшасы бар секторларға бөлінген барабан.

Кестелік КСГ кездейсоқ сандардың көзі ретінде арнайы түрде тұрғызылған кестелерді пайдаланады, олар тексерілген, өзара корреляцияланбайтын цифрлар болып табылады.

Алгоритмдік КСГ арқылы алынатын сандар, әруақытта псевдокездейсоқ немесе квазикездейсоқ сандар болып табылады, яғни келесі генерацияланатын сан алдыңғы саннан тәуелді: ri + 1 = f(ri). Алгоритмдік КСГ алудың әдістері:

орта квадраттар әдісі; орта көбейгіштер әдісі; араластыру әдісі; сызықты конгруэнттік әдіс.

Қиықтау әдісі бір немесе бірнеше алдыңғы сандарды бейсызықты түрлендіру нәтижесінде табылған жаңа санның цифрларының бір бөлігін алып тастау, немесе қию жолымен алынған кезекті кездейсоқ сандарды табуға негізделген. Қиықтау әдісінің идеясын қолданып,бірқалыпты үлестірімді кездейсоқ сандарды тудыратын алғашқы алгоритмді Фон Нейман мен Метрополис ұсынды.Бұл алгоритм орта шаршы деген атқа ие болды және 2k-орынды сандармен жұмыс істейді.Есептеу алгоритмі келесі қадамдардан тұрады:

1)z_n=0,a₁a₂…a_2k деп аламыз.

2) z_n-ді шаршылаймыз.z_n²=0, b₁b₂…b_4k.

3)Алынған шаршының 2k орта цифрын алып, оларды тізбектің келесі санының разрядтары деп есептейміз: z_n+1=0, b_k+1b_k+2…b_3k.

Мысалы: z0=0,1981 болсын, сонда k=2 болады. Шешімі:

z0=0,1981

z1=0,9243

z2=0,4330

Шегерінділер әдісі(конгруэнттік әдісі).Бұл әдісті 1948 жылы Д.Леймер ұсынған болатын.Жалпы жағдайда шегерінді әдісі мына формулаға негізделеді:

Z^*_n+1=az^*_n+C(mod m) (1)

Мұндағы z^*₀ ,a,c және m-теріс емес бүтін сандар. (1) түрдегі жазу Z^*_n+1 саны az^*_n+C өрнегін m-ге бөлгендегі қалдыққа тең екенін көрсетеді, басқаша айтқанда

Z^*_n+1-бұл az^*_n+C-ң m модулі бойынша алынған ең кіші он шегеріндісі. Мысалы: a=7, c=z^*₀=5, m=9 болса, онда

…

.

6. Кездейсоқ сандар тізбегін талдау. Кездейсоқ сандар тізбегі сапасының критерийлері. Ырғыту әдісі.

7. Шегерімдер әдісінде параметрлерге қойылатын негізгі талаптар және теорема тұжырымы. Параметрді таңдауда ондағы шарттар сақталмаса, тізбек ұзындығы қалай өзгереді.

Шегерінділер әдісі(конгруэнттік әдісі).Бұл әдісті 1948 жылы Д.Леймер ұсынған болатын.Жалпы жағдайда шегерінді әдісі мына формулаға негізделеді:

Z^*_n+1=az^*_n+C(mod m) (1)

Мұндағы z^*₀ ,a,c және m-теріс емес бүтін сандар. (1) түрдегі жазу Z^*_n+1 саны az^*_n+C өрнегін m-ге бөлгендегі қалдыққа тең екенін көрсетеді, басқаша айтқанда

Z^*_n+1-бұл az^*_n+C-ң m модулі бойынша алынған ең кіші он шегеріндісі. Мысалы: a=7, c=z^*₀=5, m=9 болса, онда

…

.

Қазіргі кезде компьютерде қолдануға шегерінділер әдісінің формуласы ыңғайлы екені анықталды. Ол үшін m=2^b болуы қажет. Мұндағы b-машиналық сөздегі екілік цифрдың саны. Сонда кездейсоқ тізбектің p=m/4 тең болатын максималды периодына мына шарттар арындалғанда жетуге болады:

1. Z₀^* кез-келген оң, тақ, бүтін сан;

2. A=8t ± 3 мұндағы t-кез-келген оң бүтін сан.

Ал енді шегерінділер әдісінің формуласына келсек, онымен кездейсоқ сандар тізбегін модельдегенде периодтың ең максималды p=m мөлшеріне жетуге болады. Бұл нәтижені мына теорема дәлелдейді.

Теорема. формула бойынша алынған кездейсоқ тізбек периодының ұзындығы m-ға тең болуы үшін мына шарттар орындалуы керек:

1. c және m-өзара жай сандар;

2. (a-1) саны r-ге еселі, егер r жәй сан және m санының бөлгіші болса;

3. (a-1) саны 4-ке еселі, егер m саны да төртке еселі болса.