40. Кездейсоқ заңдылықтарды ұқсастандыру. Таңдаманың сандық сипаттамасын ұқсастандыру.

Имитациялық модель кездейсоқ факторлардың ықпалының есепке алуы бар əр түрлi жүйелердiң тəртібін зерттеуге мүмкiндiк бередi. Бұл факторлар олардың табиғатымен салыстырғанда кездейсоқ оқиғалар, кездейсоқ ұзындықтар (дискретті немесе үзіліссіз) немесе кездейсоқ функциялар

(процесстер) сияқты модельде бейнеленуі мүмкін. Көптеген кездейсоқ құбылыстардың бағынатын заңдылығын анықтау тәселесі, бақылау нәтижесінің статистикасын зерттейтін ықтималдық теориясының әдістіне негізделгегн.

Арифметикалық таңдамалы орта. Белгінің (Х) арифметикалық ортасы деп варианталардың жалпы санына (таңдаманың көлеміне) қатынасын айтады, яғни (егер барлық варианталар әртүрлі болса):

Мұнда,

х_і – варианталар (белгі мәндері):

- таңдама көлемі.

Мұнда,

n_і – варианталар cалмағы (жиілігі);

- таңдамалы көлемі;

х_і – варианталар.

Статистикалық бақылаудың мақсаты сол жиынтықта белгінің өзгеруін (вариасиясын) шешу. Ал белгінің мүмкін мәндерін статистикада варианта деп атайды.

Кездейсоқ шамамен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия (шашырау дейді).

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(х) арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша:

Тандама орта және дисперсияны есептеу көбейту әдісі.

а) Шарттық варианталар.

Делік, таңдама варианттарлары өспелі ретінде орналасқан, яғни вариациялық қатар түрінде.

Айырымы h – қа тең арифметикалық прогрессияны құрастыратын варианталарды бірдей қашықтықтағы варианталар деп атайды.

формуламен анықталатын вариантталарды шарттық варианта деп атайды.

Мұндағы С – жалған ноль (санақтың жаңа бастамасы).

Һ – қадам (екі көрші варианталардың айырмасы).

Алғашқы варианталарды шарттық варианталарға ауыстыруы, ықшамдалған әдістер таңдамының жинақты сипаттамаларын есептеу үшін негізделген.

б) Таңдамалы орта мен дисперсияны есептеу көбейтінді әдісін қарастырайық.

Делік, таңдама бірдей қашықтықтағы варианталар және оларға сәйкес жиіліктер түрінде берілсін. Бұл жағдайда таңдамалы ортаны және дисперсияны көбейту әдісі формулаларымен табу қолайлы.

Яғни, - таңдамалы орта

- таңдамалы дисперсия

Мұндағы һ – қадам

С – жалған ноль (ең үлкен жиілігі бар варианта).

- бірінші ретті шарттық сәт.

- екінші ретті шарттық сәт.

41. Үздіксіз кездексоқ шамалардың үлестірім функциясын ұқсастандыру. Мысал келтіріңіз.

Үздіксіз кездейсоқ шамаларды моделдеу

Берілген үлестіру заңына сай кездейсоқ шамаларды моделдеу үшін кездейсоқ заңдарын моделдеудің негізгі принципі бойынша, ξ базалық кездейсоқ шамасын түрлендіру қажетті. Мұндац түрлендірудің төрт бағытын атап көрсетуге болады: аналитикалық, таңдамалы, ықтималдылықты және құрмаланған.

Кездейсоқ ξ шамасының z1 нақтыламасын аналитикалық түрлендіргенде, берілген үлестіру заңы бар η шамасының нақтыламасын деп қарастыруға болатын, х санын тұжырымдайтын операция орындалады. Бұл бағытта ең көп тараған тәсілдің бірі - кері функция тәсілі. Алайда, Үлестіру заңы элементтер функцияларға жатпайтын маңызды үлестірулердің бір қатары үшін, бұл тәсілді іс жүзінде қолдану мүмкін емес.

Келесі таңдамалы бағыттың мағынасы, базалық кездейсоқ тізбектің кейбір сандарын, берілген үлестіру заңына сәйкес жаңа тізбек құратындай етіп таңдап алуда болады. Өкінішке орай, бұл тәсіл де универсалды емес.

Үшінші бағыт, берілген үлестіру заңына, қолданбалы пайдалануға жеткілікті дәлдікпен жақындауды қамтамасыз ететін, ықтималдықтар теориясының шектік теоремаларын моделдеу шартымен байланысты. Бұл бағыттың қолдану аймағы шектік теоремалардың санымен шектелетіні айқын.

Үлестіру заң өте күрделі кездейсоқ шамаларды моделдеу үшін төртінші бағыттың тәсілдерін пайдаланғанда ғана оң нәтиже алуға болады. Бұл тәсілдердің негізнде, үлестіру заңы белгілі, кездейсоқ шаманы моделдеу үшін, бір мезгілде бірнеше, жоғарыда қаралған, тәчілдерді қолдану керек. Яғни, бұл бағыттың бір тәсілі, осы бағыттың атауына сәйкес, басқа бағыттардың бірнеше тәсілдерінен құрастырылады.

Төменде бұл тәсіл кездейсоқ заңдылықтары үлестіру функциясымен іс жүзінде мәні бар үздіксіз кездейсоқ шамаларды моделдеуді қамтамасыз етеді.

Мысалы, жатақхананың бір бөлмесінде тұратын екі студенттің емтихан тапсыруы керек болчын. А оқиғасы 1-ші студенттің емтиханды ойдағыдай тапсыруына сәйкес келсін. Бұл қарапайым оқиғаларды тәуелсіз деп санауға болатыны айқын.

Осы мысалдағы күрделі оқиғаның нақтыламалары мыналар:

,

Олардың ықтималдықтары:

Р_АР_В, (1-P_A)P_B, P_A(1-P_B), (1-P_A) (1-P_B).

Осындай күрделі оқиғаларды модельдеуге жоғарыда қарастырылған 2.1 теоремасы негіз бола алады. Сол теоремаға сүйене отырып, тәуелсіз күрделі оқиғаларды модельдейтін алгоритммен танысайық.

1-қадам. j=1 деп алайық.

2-қадам. Базалық ξ кездейсоқ шамасының Z_j, Z_j+1, тәуелсіз нақтыламаларын табайық.

3-қадам. Z_j≤P_A және Z_j+1≤P_B шартының іске асырылуын тексеру.

4-қадам. 3-ші қадамдағы салыстырудың нәтижесіне байланысты төрт есептегіштердің біреуіне бірді қосу керек:

S_AB=S_AB+1;

5-қадам. j<2n шартын тексеру, мұндағы n –сынақтардың берілген саны. Бұл шарт орындалса 2-ші қадамға көшу.

7-қадам. 4-қадамда анықталған санағыштардың қорытынды мөлшерін баспалау.

Енді А және В оқиғалары бірінен бірі тәуелді болатын жағдайды қарастырайық. Жоғарыда келтірілген мысалдағы екі студентті бұл жолы жас семья деп есептейік. Ендігі жерде ерлі-зайыпты студенттердің біреуі емтиханын тапсыра алмаса, ол семьяның бюджетіне едәуір нұқсан келтіреді. Сондықтан екінші студенттің емтихан тапсыру барысына өзінің әсерін тигізеді, яғни осы екі оқиғаны біріне бірін тәуелді кылады.

Бұл жағдайда р_А және р_В ықтималдығын өзге р_В/А шартты ықтималдық берілуі тиіс. Тәуелді күрделі оқиғаларды модельдеу үшін теоремасына негізделген қарапайым оқиғаларды модельдеу схемасын қолдануға болады.

Төменде келтірілген алгоритм екі оқиғадан тұратын күрделі тәуелді оқиғаны модельдейді.

1-қадам. j=1 деп алайық.

2-қадам. Р(В/А)=p_B/Ā шартты ықтималдығын есептеу.

3-қадам. Базалық ξ кездейсоқ шамасының Z_j нақтыламасын табу.

4-қадам. Z<p_A шартын тексеру. Бұл тексерудің нәтижесі келесі 2 есептегіштердің біреуінде сақталады:

S_A=S_A+1;

5-қадам. Базалық ξ кездейсоқ шамасының Z_j+1 нақтыламасын табу.

6-қадам. 4-ші қадамдағы салыстыру нәтижесіне қарай келесі екі шарттың біреуінің орындалуын тексеру:

немесе

7-қадам. 6-шы қадамдағы салыстыру нәтижесіне қарай келесі төрт есептегіштің біреуінің мөлшеріне бір сан қосылады:

8-қадам. j=2 деп алайық.

9-қадам. j<2n шартын тексеру. Бұл шарт орындалған жағдайда 3-ші қадамға көшу.

10-қадам. Барлық есептегіштердің қорытынды мөлшерін баспалау.

Екінші қадамда қаралатын р_В/А шартты ықтималдықты есептеу үшін толық ықтималдықтың формуласы қолданылады:

Кері функция тәсілі кездейсоқ η шамасы (а,в) интервалында анықталған, тығыздық функциясы f(x)>0, а<х<в берілген шама болсын және а=-ω, в= ω болатын жағдай шектелмесін. Сонда бұл шаманың үлестіру функциясы болады. Кері функция тәсілінің жұмыс істеу негізін мына теорема түрінде тұжырымдайық.

Кездейсоқ сан z бірқалыпты үлестірілген базалық ξ кездейсоқ шамасының нақтыламасы болсын. Сонда

F(x)=z немесе x=P-1(x) (3.1)

Өрнегінен табылған x саны алдын ала берілген f(x) тығыздығымен сипатталатын η кездейсоқ шамасының нақтыламасы болады.

Дәлелдеуі:

Кездейсоқ ξ шамасының [0,z] кесіндісіне түсу ықтималдығын анықтайық:

Р{ξ≤ z }={ F(η)≤ F(x)}= Р{ η ≤ х }= F(x)=z. (3.2)

Осы өрнектің бірінші теңдігі теореманың (3.1) шартынан алынып жазылған. Екінші теңдіктің туралығы, үлестіру функциясының мөлшері нөлден бірге дейін бірсарынды өсуінен шығады. Төртінші теңдік "айдан да анық”, себебі үлестіру функциясының екі түрлі жазылуынан шығады. Соңғы теңдік бірқалыпты кездейсоқ шамалардың кез келген интервалға түсу ықтималдығы осы аралықтың ұзындығына әр уақытта тең болатын негізгі қаситін, яғни

Р{ξ< z } = z

екенін көрсетеді.