Свободные и вынужденные колебания

Свободные затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах.

1. Уравнение затухающих колебаний

Рассмотрим колебания пружинного маятника, помещенного в вязкую среду. Колебания будут затухающими, и при колебаниях, если скорость грузика массы m будет мала, можно считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения, т. е. F_сопр = – r , где r – коэффициент сопротивления, зависящий от вязкости среды. Т.о. на маятник действуют силы упругости и сопротивления, по 2 закону Ньютона:

m

или , окончательно получим

, (*)

где ; . Здесь  – коэффициент, характеризующий быстроту затухания, он называется коэффициентом затухания, он пропорционален коэффициенту сопротивления r; «двойка» введена для удобства вычислений в дальнейшем.

Уравнение (*) называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Решение такого уравнения:

х(t) = А₀ е^–t cos(t + ₀), (**)

где А₀ и ₀ – постоянные, зависящие от начальных условий, т. е. при t = 0, а частота колебаний

,

При малом сопротивлении, когда  мало, , т. е. частота равна частоте собственных незатухающих колебаний. При большом же затухании, когда , получаем нулевую или мнимую частоту, т. е. колебание отсутствует, мы имеем так называемый «апериодический процесс».

График затухающего колебания. Штриховая кривая показывает уменьшение амплитуды по закону экспоненты.

При большом затухании получаем апериодический процесс, т. е. система не совершает даже одного полного колебания.

2. Логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы

Для количественной характеристики затухания, кроме коэффициента затухания , используют логарифмический декремент затухания. Введение последнего обосновано тем, что отношение двух любых последовательных амплитуд А_n и А_n+1 остается постоянным в течение всего процесса, т. е. .

Логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд:

.

Декремент – число (безразмерная величина), характеризующее быстроту затухания колебаний во времени. Выразим А_n и A_n+1 :

,

.

Логарифмический декремент прямо пропорционален коэффициенту затухания . Если затухания в системе нет:  = 0, то и  = 0.

Физический смысл декремента: величина, обратная декременту ( ), равна числу колебаний n, через которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для характеристики затухания используется и время релаксации , за которое амплитуда уменьшается в е раз.

.

Получаем , т. е. время релаксации обратно пропорционально коэффициенту затухания.

Качество колебательной системы определяется ее добротностью. Чем медленнее рассеивается энергия, тем добротнее система. Добротность определяется соотношением

,

г де Е(t) – полная энергия колебательной системы в момент времени t; Е(t + T) – энергия в момент времени t + T т. е. спустя период; Е(t) – E(t + T) – энергия, рассеянная за период.

Так как полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебания Е  А² , то для затухающих колебаний получим Е(t)  . Добротность будет равна:

.