3) Отрезок синусоиды

Аналитическое выражение:

Рисунок 3.9 - Временное представление отрезка синусоиды

Амплитудный спектр:

;

Рисунок 3.10 - Спектральное представление отрезка синусоиды

Представление непериодической функции интегралом Фурье возможно при выполнении следующих условий:

1) функция S(t) удовлетворяет условиям Дирихле (см. п. 1.5);

2) функция абсолютно интегрируема.

3.1.4 Сопоставление периодического и непериодического сигнала

Представим периодический сигнал S_k(t) с периодом Т₀ и непериодический – S(t), который на интервале времени (t₁, t₁ +T ₀ ) совпадает с периодическим, а вне этого интервала равен 0 (рисунок 3.11).

Рисунок 3.11

Аналитические выражения комплексной амплитуды спектра периодического сигнала имеет вид:

Отсюда видно, что спектр непериодического сигнала, заданного в интервале времени t₁≤ t ≤ t₁ +T₀ совпадает с огибающей спектра периодического сигнала и описывается функцией одного вида, зависящей от формы сигнала на периоде.

Таким образом, спектр непериодического сигнала можно определить по известному спектру соответствующего периодического сигнала и наоборот.

Из выше приведенного материала видно, что с помощью преобразований Фурье можно получить выражения для спектра сигнала. Над сигналом можно выполнить множество различных преобразований. Одна из таких операций, которую можно применить к сигналу S(t) называется сдвигом во времени. В этом случае любое событие, происходящее в момент времени t в результате сдвига будет происходить в момент времени t+T. При этом амплитуда функции S(t) равна амплитуде S(t+Т) и спектр амплитуд не меняется. Т.е. сдвиг сигнала во времени не меняет амплитудный частотный спектр.

Самыми распространенными операциями над сигналами являются сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложными операциями являются интегральные преобразования, к которым относят: свертку, корреляционный интеграл, преобразование Фурье (рассмотренное выше).

Для пропускания сигналов определенного диапазона частот используется операция фильтрации, которую реализует устройство фильтр. Он пропускает частоты соответствующие полосе пропускания и отсекает все остальные частоты, лежащие вне этой полосы. Существует четыре основных типа фильтров: фильтр низких частот (ФНЧ), фильтр высоких частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) и полосовой режекторный (или заграждающий) фильтр (РФ). Например, с помощью фильтров выполняется селектирование одного из каналов в многоканальной системе, где отдельные каналы занимают смежные диапазоны частот. Другим назначением фильтров является ограничение частот на входе приемника до частотного диапазона ожидаемого сигнала. Благодаря этому любые помехи, появляющиеся на частотах, близких к частотам полезного диапазона частот эффективно отсекаются, что позволяет улучшить качество работы системы в целом.

3.2 Анализ сигналов

3.2.1 Энергия сигнала

На практике очень часто используются такие характеристики, как энергия и мощность сигнала. Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся в резисторе мощность будет равна

(3.18)

За время T в этом резисторе выделится тепловая энергия, равная

(3.19)

Пусть теперь к тому же резистору приложено не постоянное напряжение, а напряжение, описываемое сигналом S(t). Рассеивающаяся в резисторе мощность при этом тоже будет зависеть от времени. Тогда мгновенная мощность будет описываться выражением:

(3.20)

Чтобы вычислить выделяющуюся за время Т энергию, мгновенную мощность необходимо проинтегрировать в пределах интервала Т:

(3.21)

Можно ввести также понятие средней мощности за заданный промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала:

(3.22)

Во все формулы входит сопротивление нагрузки R. Однако, если энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средство сравнения различных сигналов, этот параметр можно из формул исключить , приняв R=1 Ом. Тогда получим определение энергии, мгновенной мощности и средней мощности, принятые в теории сигналов:

(3.23)

фактически сигнал не производит работы и физически энергии нет, т.к. сигнал – это абстрактное понятие. Однако, формально, взяв квадрат от сигнала, мы говорим о мощности или об энергии сигнала, применяя формально эти характеристики к сигналу.

В теории передачи информации, практическое значение имеет равенство Парсеваля, формально описывающее закон сохранения энергии, применительно к сигналам при переходе от временного представления сигнала S(t) к частотному Ф(jω). Для получения равенства Парсеваля выполним следующее:

1. запишем выражение для энергии сигнала S(t) в виде:

;

2. выразим энергию через спектральную плотности амплитуд, т.е. используем обратное преобразование Фурье (3.17):

.

Поскольку S(t) не зависит от ω, то внесем S(t) во второй интеграл:

В результате получим равенство Парсеваля:

. (3.24)

Физический смысл: проявляется закон сохранения энергии сигнала. Энергия сигнала во временной области равна энергии спектра сигнала в частотной области.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Например, любой сигнал конечной длительности будет иметь конечную энергию (если он не содержит дельта-функций или ветвей, уходящих в бесконечность). А периодический сигнал имеет бесконечную энергию. Если энергия сигнала бесконечна, то можно определить его среднюю мощность на всей временной оси. Для этого выполняется предельный переход, устремив интервал усреднения в бесконечность:

. (3.25)

Если взять квадратный корень из средней мощности, то это даст среднеквадратическое (действующее) значение или эффективное значение сигнала :

. (3.26)