2.2 Понятие точечного и интервального оценивания. Состоятельность, несмещенность, эффективность оценок.

В выборке каждому параметру отвечает некоторая специальным образом подобранная статистика, т.е. функция от наблюдаемых, выборочных, значений рассматриваемой случайной величины (напомним, что для выборки «случайная величина» превращается в «признак»). Удачность подбора статистики, отвечающей какому-либо параметру, по существу и означает то, что с помощью этой статистики можно судить о том, каков генеральный параметр. Ниже мы проанализируем, какими качествами для этого должна обладать статистика, и покажем, каким образом соответствующие оценки можно находить. Существует два способа, два вида оценивания параметров: точечное и интервальное.

Точечное оценивание состоит в том, что мы вычисляем выборочное значение статистики, отвечающей нашему параметру, и именно это значение считаем хорошей выборочной оценкой генерального значения параметра.

В качестве статистики, отвечающей в вышеприведенном смысле математическому ожиданию, выступает среднее арифметическое. Другими словами, мы считаем, что, если Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х _n - выборочные значения некоторой случайной величины  (n – объем выборки), то точечной оценкой математического ожидания M (_x) этой случайной величины мы считаем число

= (Х₁ + Х₂+ Х₃ + ... + Х _n)/ n

Оценка t параметра  называется несмещенной, если среднее выборочного распределения оценки t (при любом фиксированном объеме выборок n ) равно величине оцениваемого параметра:

M t = .

Несмещенность статистики требуется для повышения вероятности того, что наше единственное выборочное значение этой статистики будет достаточно близко к генеральному значению соответствующего параметра. Для смещенных оценок повышается вероятность большой ошибки.

Оценка параметра называется состоятельной, если при увеличении объема выборки ее значение приближается к значению генерального параметра, который она оценивает:

P (|t_n- |   ) = 1.

Нетрудно понять смысл требования состоятельности. Если оценка не является состоятельной, то у нас не будет гарантии того, что увеличение объема выборочной совокупности приближает нашу оценку к «генеральному» значению изучаемого параметра (должно быть справедливым положение: чем больше объем выборки, тем ближе наша выборочная оценка генерального параметра к его истинному значению) .

Если несмещенность и состоятельность – понятия абсолютные (относительно каждой статистики в принципе можно сказать, смещена она или не смещена, состоятельна или нет), то эффективность – понятие относительное: можно говорить только о том, что одна статистика более эффективна, чем другая. Более эффективной обычно считается та статистика, которая имеет меньшую дисперсию своего выборочного распределения.

Величина = называется средней (стандартной) ошибкой среднего, или средней (стандартной) ошибкой выборки для признака Х.

Таким образом, стандартная ошибка среднего – это стандартное (среднее квадратическое) отклонение выборочного распределения средних значений Х, отвечающих бесконечному числу разных мыслимых выборок объема n из изучаемой генеральной совокупности с дисперсией ².

Интервальное оценивание параметров

Если  - генеральное значение параметра, а t – выборочное значение соответствующей статистики, то интервальное оценивание означает указание того, что с некоторой вероятностью Р значение  будет заключено в интервале

t -     t + .

 называется уровнем значимости доверительного интервала. Он задается исследователем. Его выбор обуславливается содержательными соображениями. Чаще всего полагают, что  = 0,05. Такой выбор означает, что 95-процентной уверенности в том, что генеральное ожидание принадлежит заданному интервалу, нам достаточно для того, чтобы полагать, что это утверждение практически верно.

Значение z находится из таблицы нормального распределения. Величины z и  (а, стало быть, z и Р) полностью определяют друг друга.

_x² социологу, как правило, неизвестно. Поэтому его вынуждены заменять выборочной дисперсией s_x². В тех случаях, когда происходит замена _x² на s_x² нормальное распределение «превращается» в распределение Стьюдента. Обычно применяют следующее правило:

Да

 известна используем z