Тема 2. Основы математической статистики.

2.1 Общее представление о случайной величине и параметрах ее распределения. Представление о выборке и генеральной совокупности, проблемы их соотнесения. Предмет, объект, основные задачи математической статистики.

Сама случайная величина определена на множестве случайных событий, имеющих определенные вероятности. В качестве такого события для социолога, как правило, выступает выбор того или иного респондента (конечно, вместо респондентов могут фигурировать и другие объекты – разного рода малые и большие социальные группы, социальные институты и т.д.). Ясно, что вероятность встречаемости подобных событий связан с тем, каков способ построения выборки. «Наткнувшись» на определенного респондента, мы можем определить соответствующее значение нашей случайной величины. Например, можем определить, что возраст выбранного респондента равен 23 годам.

После получения значений рассматриваемых случайных величин нас начинают интересовать другие случайные события - события, состоящие в том, что те или иные случайные величины принимают те или иные значения. Другими словами, нас начинают интересовать распределения случайных величин (напомним, что случайная величина всегда задается некоторым распределением вероятностей; здесь следовало бы добавить: встречаемости значений случайной величины; далее вместо столь длинного оборота будем говорить либо просто о распределении, либо о распределении вероятностей). Как известно, каждое распределение характеризуется определенным набором своих параметров (характеристик). Наиболее популярные из них – меры отвечающих распределению средних тенденций (математическое ожидание, мода, медиана) и меры разброса значений случайной величины (например, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, абсолютный размах).

Статистическая закономерность – закономерность в среднем, характеризует совокупность изучаемых объектов как систему. Простейшие примеры статистических закономерностей, характеризующих студентов вуза – «20% студентов вуза – юноши»; «средняя успеваемость студентов – 6,7 баллов». Статистическими закономерностями являются коэффициент корреляции, уравнение регрессии и т.д. Любая статистическая закономерность сводится к совокупности параметров каких-либо распределений.

Мы всегда хотим изучить генеральную совокупность, но всегда же имеем дело с выборкой. Генеральная совокупность практически всегда неуловима.

Случайной выборкой называется такая выборка, при построении которой обеспечена одинаковая вероятность попадания в неё любого объекта генеральной совокупности. Классический способ построения случайной выборки состоит в использовании датчика равномерно распределенных случайных чисел применительно к т.н. основе выборки, т.е. к перечню всех элементов генеральной совокупности. Используются также другие способы моделирования случайности, например, механическая выборка.

Социолог практически никогда не имеет основы выборки и практически всегда не может обратиться ко всем тем объектам, номера которых выданы с помощью датчика случайных чисел. Следствием этого используемая социологом выборка или является результатом лишь некоторого моделирования случайности, либо вообще не является случайной. Это надо иметь в виду, пользуясь результатами математической статистики.

Основным объектом изучения для математической статистики являются случайные величины.

Поскольку случайная величина отождествляется с определяющим ее значения распределением вероятностей, то можно сказать, что предметом изучения для математической статистики являются параметры распределения случайных величин.

Основные задачи мат. статистики - изучение статистической закономерности на выборке и перенос результатов с выборки на генеральную совокупность. Перенос осуществляется на вероятностном языке. Существует два способа переноса (отвечающих двум мощным направлениям математической статистики) – статистическое оценивание параметров (этот подход, в свою очередь делится на точечное и интервальное оценивание) и проверка статистических гипотез.

Ниже приводится таблица соотнесения основных понятий генеральной совокупности и выборки. В данном случае эта пара терминов синонимична паре «математическая статистика и эмпирическая социология». В соответствии с традицией, понятия, отвечающие генеральной совокупности, обозначаются преимущественно греческими буквами; выборочные их представления - созвучными латинскими буквами.

Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Случайная величина (, , )	Признак (x, y, z)
Вероятность , pген	Относительная частота p, pвыб
Распределение вероятностей	Частотное распределение
Параметр (характеристика вероятностного распределения)	Статистика (функция от выборочных значений признаков), служит для оценки того или иного параметра генерального вероятностного распределения
Примеры параметров и отвечающих им статистик
Математическое ожидание (, М)	Среднее арифметическое (m, )
Мода (Мо)	Мода (Мо)
Медиана (Ме)	Медиана (Ме)
Среднее квадратическое отклонение ()	Среднее квадратическое отклонение (s)
Дисперсия (2, D )	Дисперсия (s2)