Несобственный интеграл.
1. Определение несобственного интеграла.
В
предыдущем параграфе мы рассмотрели
интегралы по отрезку. В этом параграфе
мы рассмотрим интегралы, областью
интегрирования которых являются
неограниченные промежутки:
,
и
.
Такие интегралы встречаются при решении
многих теоретических и практических
задач. Например, они применяются в теории
вероятности и в теории рядов.
Определение 1. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +∞) (или на промежутке (-∞, a]).
Несобственным
интегралом называется интеграл
(1)
Если
существуют конечные пределы (1), то
говорят, что интеграл
сходится. В противном случае –
расходится.
Замечание. Интеграл (1) называют также несобственным интегралом 1-го рода.
Пример
1.
.
Пример 2. Вычислить
,
где a
>
0. (2)
Согласно определения (1) при α ≠ 1:
Если
α > 1, то
.
Если
α < 1, то 1 – α > 0,
.
Если
α = 1, то
.
Таким образом, при α > 1 интеграл (2) сходится, при α ≤ 1 расходится.
Замечание. Такой же результат справедлив и для несобственного интеграла
,
где a
< 0. (3)
Задача. Доказать, что при α > 1 интеграл (3) сходится, а при α ≤ 1 расходится.
Определение 2. Пусть функция f (x) непрерывна на всей числовой прямой. Тогда
.
2 Обобщение формулы Ньютона-Лейбница.
Обозначим
при условии, что указанные пределы
существуют.
Утверждение
1.
Если f
(x)
непрерывна на
(или
)
и существует
,
где F(x)
есть первообразная для f(x)
на промежутке
,то
(4)
(5)
Доказательство.
Докажем (4). По определению 1 и согласно формуле Ньютона-Лейбница
Формула (5) доказывается аналогично. Теорема доказана.
Утверждение
2.
Если
непрерывна на R
и существуют
где
есть первообразная
на R,
то
(6)
Доказательство.
Из (4), (5) и определения 2 следует
Теорема доказана.
Определение 3. Формулы (4) – (6) называются обобщением формулы Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.
Пример
3.
.
Сформулируем теоремы, которые позволяют не вычисляя несобственные интегралы, определить сходятся они или расходятся.
Теорема 1. (первый признак сравнения).
Пусть
функции
и
непрерывны на промежутке
и
Тогда из сходимости интеграла
(7)
следует сходимость интеграла
(8)
А из расходимости интеграла (8) следует расходимость (7).
Теорема 2 (второй признак сравнения).
Пусть
функции
и
непрерывны на
и выполнены следующие условия:
1)
2)существует
Тогда интегралы (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно.
Пример 4. Исследовать сходимость интеграла
(9)
Заметим,
что при
Поэтому
при
и
при
.
Из примера 1 и первого признака сравнения
следует сходимость интеграла
Отсюда очевидным образом вытекает сходимость интеграла (9).
Замечание. Аналогично доказывается сходимость интеграла
Следовательно, сходится интеграл
.
(10)
Интеграл (10) называется интегралом Гаусса. Он играет большую роль в теории вероятности. Доказано, что
