Некоторые стандартные приемы интегрирования и подстановки.
1.Интегрирование рациональных дробей.
Многие задачи на вычисление интегралов с помощью подходящей подстановки сводятся к интегрированию рациональных дробей.
Определение.
Рациональной
дробью называется выражение
,
где P(x)
и Q(x)
многочлены. Если степень многочлена
Q(x)
больше степени P(x),
то
рациональная дробь называется правильной.
В противном случае – неправильной.
Приведем примеры правильных рациональных дробей:
I.
,
II.
,
III.
,
IV.
Здесь
и
.
Определение. Рациональные дроби I - IV называются простейшими.
Заметим, что любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Интеграл
от многочлена сводится к первому
табличному интегралу. Поэтому нужно
научиться интегрировать правильные
рациональные дроби. Из курса алгебры
известно, что любую правильную рациональную
дробь
можно представить в виде суммы простейших
дробей I
– IV.
Чтобы записать эту сумму, нужно
пользоваться следующим правилом.
Разложим знаменатель Q(x)
на неприводимые многочлены
и
степени. Тогда каждому множителю из
знаменателя вида (x
– a)
будет соответствовать простейшая дробь
типа:
.Каждому
множителю вида
соответствует сумма дробей
и
типа:
Множителю
вида
(где
)
соответствует сумма простейших дробей
и
типов:
Неизвестные
коэффициенты могут быть найдены из
линейной системы, которая получится,
если найденное нами равенство умножить
на Q(x)
и приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях x
.Осталось
теперь заметить, что интегралы от
простейших дробей
и
типов
с помощью очевидной замены переменной
сводятся к первому и второму табличным
интегралам. А при интегрировании дроби
третьего типа сначала в числителе
выделяют производную знаменателя,
умноженную на константу, так, чтобы
оставшееся слагаемое не содержало x.
Затем,
числитель делится почленно на знаменатель,
и полученные две дроби интегрируются
отдельно. В той дроби, в которой числитель
не зависит от x,
нужно в знаменателе выделить полный
квадрат и после очевидной замены
получится тринадцатый табличный
интеграл. Во втором интеграле нужно
выделенную производную знаменателя
внести под дифференциал и получить
второй табличный интеграл.
Пример
1.
Вычислить
Заметим, что под знаком интеграла стоит неправильная дробь. Разделим числитель почленно на знаменатель с остатком:
Отсюда
следует:
Разложим знаменатель на множители:
Разложим правильную дробь на простейшие:
Умножим
данное равенство на:
(1)
Независимые
коэффициенты А,
В, С можно
найти, приравняв коэффициенты при
,
,
в равенстве (1). А можно это сделать
быстрее.
Равенство (1) справедливо при всех x.Подставим в (1) нули знаменателя подынтегральной функции: при x=0 из (1) следует -1=-A, А=1, при x=-1 из (1) следует 8=2C, С=4. Подставив в (1) x=1, получим –2=2В, В=-1. Таким образом,
=
Пример
2.
Вычислить
Подынтегральная
функция здесь представляет простейшую
дробь третьего типа. Вычислим интеграл
«по плану, предложенному выше». Выделим
в числителе производную знаменателя
и вычислим интеграл:
=
=