5. Исследования на выпуклость вверх и вниз.

Определение. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале , конечном или бесконечном. Функция называется выпуклой вниз (вверх) на , если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной, абcцисса точки касания которой принадлежит .

Исследование функции на выпуклость проводится с использованием второй производной.

Определение. Второй производной от функции называется производная от первой производной. То есть . Производная от второй производной называется производной третьего порядка Аналогично определяется производная го порядка как производная от

Теорема 1. Если на конечном или бесконечном интервале существует и

≥ 0 , (1)

то функция выпукла вниз (вверх) на .

Замечание. Если неравенства (1) строгие, то график функции в пределах интервала имеет только одну общую точку – точку касания. В таком случае будем говорить, что строго выпукла вниз (вверх).

Определение. Точка графика функции называется точкой перегиба, если существует такая, что

1) непрерывна в ;

2) существует конечное или бесконечное значение ;

3) в и функция имеет разные направления выпуклости.

Замечание. Условие 2) равносильно существованию касательной к графику функции в точке . Если , то в точке существует вертикальная касательная.

Из определения и теоремы 1 следует следующая теорема о достаточных условиях существования точки перегиба.

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна в

2) существует в ;

3) либо существует , либо

4) имеет разные постоянные знаки в и

Тогда точка является точкой перегиба графика функции

Теорема 3 (необходимое условие точки перегиба). Пусть определена в и непрерывна в точке . Если ( точка перегиба, то =0.

Следствие. Если есть точка перегиба, то вторая производная либо не существует, либо равна 0.

Замечание. Необходимое условие не является достаточным. Действительно, рассмотрим функцию . Очевидно, что . Однако точка не является точкой перегиба, поскольку выпукла вниз на всей прямой.

Приведем план исследования функции на выпуклость вверх и вниз и точки перегиба для случая, когда определена на интервале , конечном или бесконечном и существует и непрерывна везде на за исключением, быть может, конечного числа точек.

1. Найти корни уравнения и точки, где не существует. Пусть это числа

2. Нанести числа на числовую прямую, на полученных промежутках с помощью пробных точек определить знак и опираясь на теорему 1 найти направления выпуклости.

3. В точках проверить условия теоремы 2 и выбрать среди них точки перегиба.

Пример. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

1. Найдем Решим уравнение

2. Нанесем точки -1, 1 на числовую прямую.

На промежутках найдем знак Для этого найдем

, .

Согласно теореме 1 функция выпукла вниз на лучах и выпукла вверх на интервале (-1, 1).

3. Легко видеть, что в точках –1, 1 выполнены все условия теоремы 2. Найдем Точки являются точками перегиба.

В заключение приведем план полного исследования при построении графика функции.

1. Найти область определения.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства.

5. Найти предельные значения функции в граничных точках области определения.

6. Найти асимптоты.

7. Исследовать на непрерывность. Найти точки разрыва и установить характер разрыва.

8. Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы.

9. Найти промежутки выпуклости вверх или вниз и точки перегиба.

10. Вычислить значения функции в нескольких точках и построить график функции.