Основные тезисы

Ориентированным графом или орграфом называют пару G = (V, Е), где V — конечное множество вершин, а Е — отношение на V. Элементы множества Е называют дугами орграфа.

Если uv — дуга орграфа, то вершину и называют антецедентом v.

Путем длины k в орграфе называют такую последовательность различных вершин v₀, v₁, …, v_k, в которой каждая пара v_i-1 v_i образует дугу (i = 1,..., k).

Контуром в орграфе G принято называть последовательность вершин v₀, v_i, ..., v_{k ,} образующую путь, в которой первая v₀ совпадает с последней, а других повторяющихся вершин в ней нет.

Орграф называют бесконтурным, если в нем нет контуров. В задаче о планировании заданий соответствующий бесконтурный орграф называют системой ПЕРТ.

Последовательность согласованных меток бесконтурного орграфа G = (V, Е) — это метки: 1, 2, 3, ..., п вершин, причем если uv — дуга орграфа, соединяющая вершину и с меткой i и вершину v с меткой j, то i < j.

Для орграфа можно выписать последовательность согласованных меток тогда и только тогда, когда он не имеет контуров. Алгоритм топологической сортировки генерирует последовательность согласованных меток бесконтурного орграфа.

Пусть G = (V, Е) — орграф с п вершинами и матрицей смежности М. Логическая степень М^к матрицы смежности хранит информацию о существовании путей длины k между произвольной парой вершин орграфа G. Матрица

М* = М или М² или ... или Мⁿ

называется матрицей достижимости орграфа. В ней записана информация о существовании путей между вершинами.

Алгоритм Уоршелла используется для вычисления матрицы достижимости орграфа. Алгоритм генерирует последовательность матриц W₀, W₁, W₂, …, W_n, где W₀ = M, W_n = M* а для любого k≥1 матрица W_k строится по Wk-\ следующим образом:

1. Берем k-ый столбец матрицы W_k-1.

2. Каждую строчку, у которой на k-ом месте стоит Л, переписываем в соответствующую строку матрицы W_k.

3. Каждую строчку, у которой на k-ом месте стоит И, спариваем с помощью операции или с k-ой строкой, а результат записываем в соответствующую строку матрицы W_k

Кратчайшим путем между произвольной парой вершин в нагруженном орграфе называется путь наименьшего общего веса. Общий вес кратчайшего пути, ведущего от вершины u к v, называется расстоянием от и до v. Если пути от и до v не существует, то расстояние между ними принято считать бесконечным и обозначать символом ∞.

Алгоритм Дейкстры определяет кратчайшие пути в нагруженном графе от данной вершины до любой другой.