Пп. 3. Критерий Колмогорова.
Данный критерий, как и критерий
,
применяется для оценки степени
согласованности теоретического и
статистического распределений. В
качестве меры расхождения между
теоретическим и статистическим
распределениями А.Н.Колмогоров
рассматривает максимальное значение
модуля разности между статистической
(эмпирической) функцией распределения
и
соответствующей теоретической функцией
распределения F(x):
.
Теорема Колмогорова. Какова бы ни
была функция распределения F(x)
непрерывной случайной величины Х,
при неограниченном возрастании числа
независимых наблюдений n
(то есть при
)
вероятность неравенства
стремится к пределу
.
Значения вероятности
приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0,7 |
0,711 |
1,4 |
0,04 |
0,1 |
1 |
0,8 |
0,544 |
1,5 |
0,022 |
0,2 |
1 |
0,9 |
0,393 |
1,6 |
0,012 |
0,3 |
1 |
1 |
0,27 |
1,7 |
0,006 |
0,4 |
0,997 |
1,1 |
0,178 |
1,8 |
0,003 |
0,5 |
0,964 |
1,2 |
0,112 |
1,9 |
0,002 |
0,6 |
0,864 |
1,3 |
0,068 |
2 |
0,001 |
Схема применения критерия Колмогорова следующая: строятся статистическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x), и определяется максимум D модуля разности между ними.
Далее определяется величина
и по таблице находится вероятность
- вероятность того, что (если величина
Х действительно распределена по
закону F(x))
за счет чисто случайных причин максимальное
расхождение между F(x)
и
будет
не меньше, чем фактически наблюдаемое.
Если вероятность
весьма
мала, гипотезу следует отвергнуть как
неправдоподобную, при сравнительно
больших
ее можно считать совместимой с опытными
данными.
Критерий А.Н. Колмогорова своей простотой выгодно отличается от критерия , поэтому его охотно применяют на практике. Но этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение F(x) полностью известно заранее из каких-нибудь теоретических соображений, то есть когда известен не только вид функции распределения F(x), но и все входящие в нее параметры. Такой случай редко встречается на практике. Обычно из теоретических соображений, известен только общий вид функции F(x), а входящие в нее числовые параметры определяются по данному статистическому материалу. При применении критерия это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы распределения . Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает.
Если все же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения выбираются по статистическим данным, критерий дает заведомо завышенные значения вероятности , поэтому в ряде случаев рискуем принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными.