Решение.

1. Найдем , где . (Ранее была формула .

2. .

=1,25.

.

3) Вычислим теоретические частоты по замечанию 2. n = 100, h = 0,5, .

Составим таблицу:

i	xi
1	2,5	-1,9	0,0656	2,93
2	3	-1,45	0,1394	6,22
3	3,5	-1	0,242	10,8
4	4	-0,56	0,341	15,22
5	4,5	-0,11	0,3965	17,7
6	5	0,33	0,3778	16,86
7	5,5	0,78	0,2943	13,14
8	6	1,23	0,1872	8,36
9	6,5	1,67	0,0989	4,41
10	7	2,12	0,0422	1,88

4) По формуле (*) найдем величину _набл. – наблюдаемое значение критерия Пирсона.

Составим таблицу:

i	ni
1	5	2,93	1,46	8,53
2	7	6,22	0,1	7,88
3	8	10,8	0,73	5,93
4	18	15,22	0,51	21,29
5	20	17,7	0,3	22,6
6	15	16,86	0,21	13,35
7	10	13,14	0,75	7,61
8	7	8,36	0,22	5,86
9	6	4,41	0,57	8,16
10	4	1,88	2,39	8,51
Σ	n = 100	97,52	7,24	109,72

.

Контроль: .

5) Найдем число степеней свободы: , где r – число групп выборки.

6) Найдем . Уровень значимости α = 0,01.

.

7) Сравним и : . Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем. Эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.

Пп. 2. Критерий Стьюдента.

Для определения достоверности разницы средних для двух выборок применяют метод (критерий) Стьюдента или t - критерий. Этот критерий применяется к зависимым выборкам, например, результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия независимой переменной.

Пусть случайная величина Х имеет нормированное нормальное распределение, то есть М(Х) = 0, σ_Х = 1.

Определение 53. Распределением Стьюдента с n-1 степенью свободы называется распределение случайной величины , где , , где Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Это распределение характеризуется плотностью , где Г(х) – известная гамма-функция . Число степеней свободы - число данных из выборки, значения которых могут быть случайными, то есть могут варьироваться. Для распределения Стьюдента составлены специальные таблицы.

По-другому, критерий Стьюдента - метод проверки однородности двух независимых выборок (то есть нет различий). В математико-статистических терминах постановка задачи такова: имеются две выборки x₁, x₂,..., x_m и y₁, y₂,...,y_n (т. е. наборы из m и n действительных чисел), требуется проверить их однородность.   Можно переформулировать задачу: требуется проверить, есть ли различие между выборками. Если различия нет, то для дальнейшего изучения часто выборки объединяют.

Опишем традиционный статистический метод проверки однородности. Вычисляют средние арифметические в каждой выборке: , , затем выборочные дисперсии: , , затем статистику t, на основе которой принимают решение:

.

По заданному уровню значимости  и числу степеней свободы (m+n - 2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение t_кр. Если |t| > t_кр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t| < t_кр, то принимают. (При односторонних альтернативных гипотезах вместо условия |t| > t_кр проверяют, что t > t_кр; эту постановку рассматривать не будем, так как в ней нет принципиальных отличий от обсуждаемой нами.)

Замечание 1. Для обоснованного применения математико-статистических методов необходимо, прежде всего, построить и обосновать вероятностную модель порождения данных. При проверке однородности двух выборок общепринята модель, в которой x₁, x₂,..., x_m рассматриваются как результаты m независимых наблюдений некоторой случайной величины Х с функцией распределения F(x), неизвестной статистику, а y₁, y₂,...,y_n - как результаты n независимых наблюдений, вообще говоря, другой случайной величины Y с функцией распределения G(у), также неизвестной статистику. Предполагается также, что наблюдения в одной выборке не зависят от наблюдений в другой, поэтому выборки и называют независимыми. Возможность применения модели в конкретной реальной ситуации требует обоснования. Независимость и одинаковая распределенность результатов наблюдений, входящих в выборку, могут быть установлены или исходя из методики проведения конкретных наблюдений, или путем проверки статистических гипотез независимости и одинаковой распределенности с помощью соответствующих критериев. Если проведено (m+n) измерений линейных размеров деталей, то описанную выше модель, как правило, можно применять. Если же, например, x_i и y_i - результаты наблюдения одного и того же образца до и после определенного технологического воздействия, то рассматриваемую модель применять нельзя. (В этом случае используют модель так называемых связанных выборок, в которой обычно строят новую выборку z_i = x_i - y_i и используют статистические методы анализа одной выборки, а не двух.) 

Замечание 2. Для определения достоверности разницы средних в случае зависимых выборок применяется следующая формула: , где d — разность между результатами в каждой паре; — сумма этих частных разностей; - сумма квадратов частных разностей. Полученные результаты сверяют с таблицей t, отыскивая в ней значения, соответствующие n-1 степени свободы; n — это в данном случае число пар данных. Перед тем как использовать формулу, необходимо вычислить для каждой группы частные разности между результатами во всех парах, квадрат каждой из этих разностей, сумму этих разностей и сумму их квадратов.