Дисциплина «Экономико-математические методы и модели»
Модели производственных затрат и прибыли предприятия. Точка безубыточности.
ДЛЯ ПОЯСНЕНИЯ Безубыточность – издержки равны прибыли (ни прибыли, ни издержек). Выручка, которая необходима для покрытия себестоимости продукции. При проведении анализа безубыточности определяется минимальный объем выручки, при котором предприятие остается безубыточным. Определяется зона безопасности (удаленность от критического уровня продаж). Это необходимо для выявления и оценки причин, повлекших ухудшение финансового состояния предприятия с последующим принятием решения выхода из сложившейся ситуации.
Точка критического объема продаж показывает, до какого уровня могут быть снижены продажи, не приводя предприятие к убыточной работе. Зона безопасности – разница между фактическим количеством реализованной продукции и безубыточным объемом продаж. Чем выше эта зона, тем прочнее финансовое состояние предприятия. Рычаги оптимизации: увеличение объема реализации продукции, снижение постоянных затрат, увеличение продаж более прибыльной продукции.
Линейные модели производственных затрат и прибыли предприятия.
Простейшая экономико-математическая модель производства основана на том, что общие издержки С(х) на производство продукции в количестве х единиц состоят из:
постоянные издержки (С0)
переменные пропорциональные издержки С1=bx, где b – расходы (сырья, материала, энергии) в расчете на 1 изделие в денежном выражении.
Постоянные издержки – это издержки, которые фирма несет независимо от объема выпуска продукции (например, зарплата управленческого персонала, аренда, налоги на собственность и т.д.)
Переменные (пропорциональные) издержки – это издержки, которые, во-первых, находятся в зависимости от объема выпуска, а, во-вторых, пропорционально уменьшаются или увеличиваются в зависимости от объема выпуска. Это основные материалы, сдельная оплата труда рабочих, упаковка и др.
Модель совокупных расходов: С(х)= С0+ bx
Параметры модели С0 и b определяются:
а) нормативным (отчетным) способом. При его использовании параметры задаются при описании технологии производства и статей производственных расходов или на основании отчетных данных
б) при помощи разработки линейного уравнения регрессии по статистическим данным.
Линейная модель прибыли строится на основе данных о валовом доходе и производных затратах: PR(x)=px-C(x), px – валовый доход, PR – величина прибыли
Линейная модель прибыли имеет вид: PR(x)=px-C0-bx= - C0+(p-b)*x
Анализ данной формулы дает следующие результаты:
При отсутствии деятельности PR(x)=-C0
2. если p<=b (цена изделия не превышает предельных переменных затрат), то PR(x)<=0, т.е. производство не будет являться прибыльным при любом количестве изделий.
3
.
p>b, то определяется точка безубыточности
х0,т.е. количество изделий, которому
соответствует PR=0, то есть прибыль = 0
(обеспечивается минимальный уровень
производства).
x0=C0/(p-b)
Для всех x≤x0 производство убыточно (PR≤0).
Для всех x≥x0 производство прибыльно(PR>0).
При увеличении цены (р) точка безубыточности смещается влево. Безубыточность достигается при меньшем количестве изделий (Б1).
Линейная модель прибыли имеет ограниченное применение, так как в ней рост прибыли зависит только от количества производства. На самом деле есть система ограничений: бесконечное увеличение прибыли невозможно, так как есть лимит материальный, трудовых ресурсов, а также определённые производственные и складские мощности. Также не учитывается объем продаж, то есть емкость рынка, количество потребителей и т.д. Применяется для решения базового вопроса, сколько производить для удовлетворения точки безубыточности.
Квадратичная модель производственных затрат
Квадратичная модель затрат включает кроме постоянных (С0) и переменных (С1) затрат еще «сверхпропорциональные» затраты (С2), в составе которых учитываются затраты на расширение производства, оплата сверхурочного труда и т.д.
Для математического описания этого вида затрат используется степенная зависимость от объема выпуска С2=kx2, где k>0 – параметр модели.
Квадратичная модель затрат: С(х)= С0+ С1+ С2= С0+bx+ kx2
График - монотонно возрастающая параболическая функция при х≥0.
Для характеристики скорости возрастания издержек по мере роста выпуска продукции (х) используется понятие приростных и маргинальных издержек.
Приростные издержки вычисляются по формуле ΔС=С(х+1)-С(х), которая характеризует затраты на выпуск дополнительной единицы продукции.
Маржинальные издержки – приростные издержки в дифференцированной форме. Они вычисляются с использованием производной от функции затрат: МС= С’(х)= b+2 kx
Квадратичная модель прибыли
Квадратичная модель прибыли строится на основе квадратичной модели затрат и имеет вид: PR(x)=px-(С0+bx+ kx2)=- C0-kx2+(p-b)*x
Анализ этой формулы дает следующие результаты:
1. если p<=b , то PR(x)≤=0, т.е. производство будет убыточным при любом количестве изделий.
2. если p>b, то существует 2 точки, которым соответствует нулевая прибыль PR=0.
При анализе по объему производства возможны 3 случая:
1. если х<x0, то PR<0 и производство убыточно
2. если x01<=х<=x02, то PR>=0 и производство прибыльно - зона безубыточности. Точка безубыточности рассчитывается с помощью дискриминанта. Расстояние между двумя точками называется зоной безубыточности, другими словами, запас финансовой устойчивости. При росте цены, зона безубыточности расширяется в одну сторону (вправо). В центре зоны безубыточности находится точка максимума прибыли, вычисляется как PR’(x)=0
3. если х>x02, то PR<0 Такое уравнение имеет один корень, то есть в лучшем случае такое производство, может быть, безубыточным.
В центре зоны безубыточности находится точка максимума прибыли xmax, значение которой определяется из условия равенства нулю первой производной от функции
PR(x)= - C0-kx2+(p-b)*x__(1)
PR’(x)= - 2kx+p-b=0_____(2)
отсюда xmax=(p-b)/2k_____(3)
В точке максимума прибыли p=MC(x), т.е. маржинальные издержки равны цене изделия.
Величина максимальной прибыли равна (после подстановки (3) в (1)):
График квадратичной функции прибыли имеет вид:
При увеличении цены изделия (р), зона безубыточности расширяется, а точка максимума сдвигается вправо.