28. Коэффициенты множественной детерминации и корреляции

По аналогии с парной регрессией можно определить долю вариации зависимой переменной у, объясненную изменением включенных в модель факторов, его общей дисперсии Q, т.е.

(1)

Величину называют коэф-ом множественной детерминации. Его знач. нах-ся м/у . И чем ближе к 1, тем выше качество модели, тем больше модель объясняет поведение у.

Коэффициент детерминации также можно вычислить по другой формуле:

(2)

Если из коэф-та детерминации найти квадратный корень, то полученную харак-ку наз-ют коэффициентом множественной корреляции R. Коэф-нт R явл-ся обобщением коэффициента для парной регрессии, но он харак-ет совместное влияние всех факторов на переменную у. Основное его отличие сост. в том, что , а .

Поэтому коэффициент множественной корреляции не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем ближе R к 1, тем лучше уравнение описывает исходные статистические данные и тем выше качество модели. Коэф. R можно найти без построения самой модели и ее параметров, если использовать матрицу парных коэффициентов корреляции:

(3)

Здесь определитель

определитель нах-ся путем вычеркивания 1-ой строки и 1-го столбца.

Из формулы (1) видно, что знаменатель не зависит от числа р факторов модели, в то время как числитель с ростом р уменьшается. Поэтому при сравнении 2-ч моделей с разным числом факторов неясно за счет чего возрастает показатель : за счет реального влияния дополнительно включенных факторов либо ввиду увеличения самого числа факторов.

Для того, чтобы можно было сравнить с различным числом факторов более объективно нужно в формуле для заменить суммы квадратов отклонений дисперсиями на 1 степень свободы. В результате получится скорректированный (нормированный) коэф-т множественной детерминации:

(4)

Если n – велико, то и мало отличаются друг от друга. С ростом р увеличивается значительно меньше, чем . Считается, что если t-статистика коэффициента при некотором факторе по модулю < 1, то включение этого фактора в модель может привести даже к уменьшению в то время как увеличивается. Поэтому увеличение факторов модели р производится до тех пор, пока существенно увеличится.

В статистических пакетах обычно приводится значение и , и . И они являются суммарными мерами общего качества модели.

29. Оценка значимости уравнения в целом и его параметров в отдельности

Оценка значимости уравнения множественной регрессии в целом осуществляется путем проверки нулевой гипотезы .

Для проверки гипотезы используют F-статистику:

(1)

По таблицам Распределения Фишера находим , задав уровень значимости и числом степеней свободы . Если , то гипотеза отвергается, т.е. в пользу гипотезы , т.е. уравнение в целом статистически значимо.

Если же

Аналогично проверяется статистическая значимость параметров . Но для этой цели используются t-статистики.

.

Стандартные ошибки нах-ся из след. соотношения:

Здесь: 1) диагональный элемент обратной матрицы, стоящей на пересечении строки и ( столбца.

2) стандартная ошибка уравнения регрессии.

По таблицам распределения Стьюдента находится , при этом , .

Если , то статистически значим, т.е. существенно отличается от 0.

Если , то статистически незначим и фактор можно исключить из модели, т.к. он несущественно влияет на переменную у.

Описанную схему называют строгой проверкой значимости параметров.

На практике в качестве 1-го приближения используют так называемое «грубое правило»:

1. Если статистически незначим.

2. Если , то относительно статистически значим и требуется применить строгую проверку значимости.

3. Если , то является статистически значимым.

4. Если сильно статистически значим и ошибка вывода в этом случае не превосходит р = 0,001.