21. Нелинейная парная регрессия. 2 типа нелинейных регрессий.

При моделировании эконом процессов не всегда можно обойтись линейной функцией, так же при этом возникают большие ошибки. В этих случаях используют нелинейные регрессии. Они делятся на 2 класса: 1) линейные по оцениваемым параметрам; 2) нелинейные по оценивавшим параметрам. К 1-му классу относят: 1) Полиномы любых степеней у=β0+β1*х+β2*х²+ε; 2) логарифмическая модель у=β0+β1*Ln х+ε; 3) гиперболическая модель у=β0+β1*1/х+ε. Ко 2-му классу можно отнести: 1) степенную модель у=β0*х^β1*ε; 2) показательная модель у=β0*β₁^х*ε; 2) Экспонинцеальная у=е^β0+β1*х*ε.

Перечисленные модели 2-го класса явл-ся мультипликативными относительно возмущения ε. По мимо таких моделей существуют аддитивные относительно возмещению ε. У=β0*х^β1+ε и у=е^β0+β1*х+ε.

22. Линеаризация нелинейных моделей. Примеры.

Метод наименьших квадратов для оценки параметров нелинейных моделей непосредственно применять нельзя, т.к. система норм уравнений, из кот-х определяются параметры моделей не явл-ся линейной и для ее решения, требуются специальные численные методы. Для оценки параметров таких моделей используются 2 подхода: первый их них основан на линеаризации модели и он заключается в том, что с помощью соот-х преобразований, исходных переменных х (или у) и искомую зависимость представляют в виде линейного соответствия м/у преобразованными переменными. Второй подход используют в тех случаях, когда линеаризацию моделей выполнить невозможно и в этом случае для оценки параметров применяют численные методы нелинейной оптимизации.

Рассмотрим как выполняется линеаризация модели: наиболее просто это выполняется для моделей 1-го класса линейных по параметрам.

у=β0+β1*1/х+ε

Х=1/n

у=β0+β1*x+ε

b1=(ху (с черточкой)- х(с черточкой)*у (с черточкой))/ (х²(с черточкой)-х (с черточкой)²)

b0= у(с черточкой)-b1*x(с черточкой)

y~=b0+b1*1/х

Линеаризация модели 2 класса рассмотрим на примере степенной модели: у=β0*х^β1*ε

Ln y=Ln (β0*х^β1*ε)=ln β0+ln х+ln ε

Y=ln y; X=ln X; β0'=ln p0; ε`=ln ε.

Y= β0'+ β1X+ ε`

b`1= (XY (с черточкой)-Х (с черточкой)*Y(с черточкой))/(Х²(с черточкой)-Х(с черточкой)²)

b`0= Y(с черточкой)-b1*X

b0=e^b`0

y~=b0*x^b1

y=β0x^β1+ε

ln y=ln(β0x^β1+ε)

23. Индексы корреляции и детерминации в нелинейных регрессиях.

Для оценки точности нелинейных регрессий используют величину аналогичную коэф детерминации и называемую индексом детерминации.

R²= 1.Q_R/Q=Σ(y~i-y(с черточкой))²/Σ(yi-y( с черточкой))², для нелинейных по параметрам

2. 1-(Qe/Q)=1- (Σei²/ Σ(yi-y( с черточкой))², для линейных по параметрам

Эти 2 уравнения в фигурные скобочках, а перед ними R².

Индекс детерминации используется для проверки значимости нелинейных уравнений регрессии с помощью критерия Фишера. F=R²/(1- R²)*(n-m-1)/m, где m- число парной модели.

Сравнивается с Fкр, , k1=m, k2=n-m-1. Если F>Fкр, следовательно, уравнения статистически значимы. Пусть R² – индекс детерминации, r²_ху- коэф детерминации линейной модели. Разница м/у 0<= R² - r²_ху<=0,1, то нелинейную модель можно заменить линейной, более простой. R² - r²_ху>0,1.

t= (R² - r²_ху)/m _|R-чху|

m _|R-rху|=2* (остальное все под корнем) ((R² - r²_ху)- (R² - r²_ху)²*(2-(R² - r²_ху))/n

Если |t|>tкр, то различия м/у показателями R² и r_ху существенно и замена нелинейной модели на линейную недопустима.

Индекс корреляции это R= ².

0<=R<=1