
- •Случайные события. Вероятность. Теоремы сложения и умножения.
- •Случайные величины. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин
- •Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин
- •Системы случайных величин. Законы распределения и числовые характеристики
- •Генеральная и выборочная совокупность. Выборочные характеристики
- •21. Нелинейная парная регрессия. 2 типа нелинейных регрессий.
- •23. Индексы корреляции и детерминации в нелинейных регрессиях.
- •24. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии.
- •28. Коэффициенты множественной детерминации и корреляции
- •29. Оценка значимости уравнения в целом и его параметров в отдельности
- •30. Доверительный интервал для коэффициентов множественной регрессии
- •31. Доверительные интервалы для индивидуальных прогнозных значений зависимой переменной
- •32. Частные f-критерии и их использование в эконометрике
- •33. Мультиколлинеарность, ее разновидности, последствия и способы выявления
- •37. Устранение гетероскедастичности. Взвешенный метод наименьшего квадрата.
- •38. Обобщенная модель множественной регрессии.
- •39. Автокорреляция, ее виды и последствия.
- •40. Методы обнаружения автокорреляции.
- •41.Оценка параметров при наличии автокорреляции.
- •47. Общие понятия временного ряда. Его составляющие. Типы моделей
- •48. Стационарные временные ряды. Коэффициент автокорреляции. Коррелограмма
- •49. Аналитическое и механическое выравнивание временного ряда
- •50. Применение фиктивных переменных при моделировании сезонных колебаний ряда
- •51. Тесты Чоу и Гуйарата для обнаружения структурных изменений ряда
- •Вопрос 52
- •Вопрос 53
41.Оценка параметров при наличии автокорреляции.
Рассмотрим подход для оценки параметров модели при наличии автокорреляции на примере линейной парной регрессии.
уi=β0+ β1xi+Ei (5)
Уравнение (5) в предыдущем уравнении запишется:
уi-1=β0+ β1xi-1+Ei-1 (6)
пусть имеем автокорреляцию 1го порядка (1) и коэффициент ρ известен.
Умножая (6) на ρ и вычитая его из (5) го уравнения получим
уi- ρуi-1=β0(1-ρ)+ β1(xi -ρxi-1)+Ei -ρEi-1
введем новые переменные:
уi’=
уi-
ρyi-1,
i=
xi’= xi- ρxi-1, i= (7)
и заметим Ei -ρEi-1 = ηi
β0’= β0(1-ρ)
тогда уi’=β0’+ β1xi’+ ηi (8)
В уравнении (8) cov(ηi; ηj)=0 оцениваем МНК
b0’ и b1 -МНК оценки уравнения (8)
b0=
получаем
=
b0+ b1(х)
- уравнение (5)
Чтобы не терять значения переменных уi, xi в первом наблюдении используют поправки Прайса-Уинстона
х1’=
x1
y1’=
y1
(9)
т.к. на практике значение ρ неизвестно, то его заменяют оценкой r, вычисленной по формуле (3).
42. До сих пор рассматривались модели, в которых независимые переменные носили количественный характер, т.е. они могли принимать числовые значения из некоторого числового промежутка (доход семьи, себестоимость продукции и т.д.).
Однако на практике возникает необходимость исследования влияния на зависимую переменную у качественных признаков, которые могут принимать два или более фиксированных уровней, которые уже не носят числовой характер, а отражают некоторые категории.
Например, - образование служащего м/б начальным, средним, высшим; - пол человека м/б женским и мужским.
Чтобы учесть такие признаки в модели им надо придать количественные значения, т.е. каждому уравнению присвоить некоторые количественные метки. Сконструированные на базе качественных факторов числовые переменные называют фиктивными (индикаторными) переменными.
Участие таких переменных в модели приводит к скачкообразному изменению параметров модели, и в этом случае говорят о регрессионных моделях с переменной структурой. Если в модели учитываются только качественные признаки, то такие модели называют ANOVA-модели (модели дисперсионного анализа).
Например, если в модели з/п некоторого предприятия следует учесть уровень образования работника, то она будет выглядеть так:
yi=β0+β1zi+Ei, i =1,n
zi=
Отсюда видно, что ANOVA-модели представляют собой кусочно-постоянные функции и они в экономике используются редко.
Модели, в которых используются как количественные факторы, так и качественные, называются ANCOVA-модели (модели ковариационного анализа).
Фиктивные переменные, включаемые в такие модели, являются бинарными, т.е. они могут принимать только 2 значения (как правило 0 и 1).
Например, если в модели з/п помимо количественных факторов (стаж работы, возраст и т.д.) учитывается качественный фактор, напр пол работника, то модель будет иметь след вид:
Если качественный фактор может принимать более 2х уровней, например К (где К>2), то потребуется ввести в рассмотрение (К-1) бинарную фиктивную переменную.
Например, если в предыдущей модели з/п учитывала уровень образования, которая может принимать 3 уровня (начальное, среднее, высшее), т.е. К=3, тогда в модель добавляется дополнительно 2 бинарные фиктивные переменные.
где
Если в модели z2i=z3i=0 →i-тый работник имеет начальное образование. Нулевой уровень всех фиктивных переменных называют базовым или сравнительным уровнем модели.
43. В ранее рассматриваемых моделях зависимая переменная у явно или неявно предполагалась некоторой непрерывной величиной, которая могла принимать любые значения из некоторого числового промежутка. Часто на практике интересующая нас зависимая переменная носит дискретный характер. Например, можно исследовать зависимость количества автомобилей в семье от уровня доходности семьи.
Рассмотрим основные типы таких переменных:
1. Номинальные переменные.
Рассмотрим следующие примеры:
а) Семейное положение мужчины м/б выражено след категориями:
-холост
-женат
-разведен
-вдовец
б) Решение о покупке товара:
- да
-нет
в) Выбор специальности при поступлении в ВУЗ:
-бухгалтер
-менеджер
-финансист
В приведенных примерах выбор осуществляется из 2 или более альтернатив. Если имеется только 2 альтернативы, то поведение переменной можно описать бинарной величиной, принимающей 2 значения – 0 и 1.
Если же имеется К альтернатив и К>0, то поведение такой переменной описывается величиной, принимающей целое значение 1, 2, …, К.
Главная особенность приведенных примеров состоит в том, что альтернативы нельзя естественным способом упорядочить, т.е. присвоить им номера от 1 до К. Эта нумерация является произвольной и зависит от исследователя. такие переменные называют номинальными.
2. Порядковые переменные.
Как и в предыдущем случае имеется несколько альтернатив, но они м/б естественным способом упорядочены. Примеры:
а) доход семьи:
-низкий
-средний
-высокий
-очень высокий
б) уровень образования:
-начальное
-неоконченное среднее
-среднее
-неоконченное высшее
-высшее
в)состояние больного:
-плохое
-удовлетворительное
-хорошее
Такие переменные называют порядковыми (ранговыми).
3. Количественные целочисленные переменные.
Примерами таких переменных м/б:
-количество предприятий в городе Казани обанкротившихся в текущем году (0, …, n)
- количество частных ВУЗов в Казани (0, …, n)
- число прибыльных предприятий в текущем году (0, …, n)
Для моделей с дискретными зависимыми переменными формально возможно использование МНК для оценки параметров. Однако с содержательной точки зрения, удовлетворительные результаты можно получить только для моделей с количественными целочисленными переменными. Если в модели зависимая переменная является номинальной с количеством альтернатив более 2, то результаты оценивания МНК теряют смысл в силу произвольности нумерации альтернатив. Отсюда, требуется разработка других регрессионных схем отличных от стандартных.
44. Рассмотрим вначале простейшие модели бинарного выбора (одна из 2х альтернатив). В таких моделях зависимая переменная может принимать только 2 значения – 0 или 1.
Рассмотрим это на примере покупки автомобиля в некоторой семье.
Будем считать что yi=1, если семья в течение исследуемого периода приобретает автомобиль,
yi=0, в противном случае.
На решение семьи о покупке авто влияют многие факторы:
-доход семьи
-кол-во членов семьи
-возраст
-место проживания и т.д.
Эти факторы можно количественно измерить и их набор можно представить в виде вектора x=(x1,x2,…,xn)
Помимо этого на решение о покупке авто могут влиять неучтенные, либо случайные факторы (лечение членов семьи, затопление квартиры и т.д.). Эти факторы будем учитывать Ei.
Выдвигая различные предположения о зависимости переменной у от вектора х можно получить различные модели бинарного выбора, из которых рассмотрим 3:
(1) – линейная регрессионная модель
Поскольку yi принимает 2 значения, то находя мат ожидание от обеих частей выражения (1) получим:
В итоге:
(2) – линейная модель вероятности.
Главный ее недостаток в том, что если по полученному уравнению регрессии выполнить прогнозирование, то рез-т может не принадлежать отрезку [0,1], что не отвечает понятию «вероятность события»
Чтобы этого избежать пробуют найти модель ,когда Р(yi=1) является нелинейной функцией.
Р(yi=1)
= F(β1,β2,…,βp,x1i,…,xpi),
причем область значения F
[0,1]
Такими свойствами обладают функции распределения вероятностей.
45. Если в качестве функции F взять функцию распределения нормального закона
dx
- то это probit-модель
Если в качестве
F взять
, то полученная модель называется
logit-моделью.
Для получения моделей множественного выбора можно использовать след подход:
Рассмотрим это на примере выбора профессии:
-бухгалтер
-менеджер
-информатик
Вводим 2 бинарные переменные:
Тогда модель множественного выбора м/б представлена в виде графа, в узлах которых решаются последовательно задачи бинарного выбора.
В нашем примере это будет выглядеть следующим образом:
46. При моделировании экономических процессов не всегда можно обойтись линейными функциями, т.к .при этом возникают большие ошибки.
В этом случае используют нелинейные регрессии. С точки зрения эконометрики они делятся на 2 класса:
- линейные по оцениваемым параметрам
-нелинейные по оцениваемым параметрам
К 1 типу относят:
-полиномы
любых степеней
-логарифмическая
-гиперболическая
и т.д.
Ко 2 типу относят:
-степенная
-показательная
-экспоненциальная
и т.д.
Перечисленнные модели 2го класса являются мультипливативными относительно возмущения Е.
Помимо таких моделей существуют аддитивные относительно возмущения Е.
Например,
степенная аддитивная
МНК для оценки параметров нелинейных моделей непосредственно применять нельзя, т.к. система нормальных уравнений из которых определяется параметры моделей не является линейной, и для ее решения требуются специальные численные методы.
Для оценки параметров таких моделей используют 2 метода:
Первый из них основан на линеаризации модели и он заключается в том, что с помощью соответсвующих преобразований исходнях переменных х и у искомую зависимость представляют в виде линейного соотноения между между преобразованиями переменными.
Второй подход используют в тех случаях, когда линеаризацию модели выполнить невозможно и в этом случае для оценки параметров применяют численные меоды нелинейной оптимизации.
Напрмиер, степенная модель с аддитивной составляющей Е линеаризации не подлежит.
Наиболее просто это выполняется для моделей первого класса линейных по параметрам.