39. Автокорреляция, ее виды и последствия.

В общей классической модели множественной регрессии выполнялась четвертая предпосылка М(Е_i, Е_j)=0 i≠j, т.е. cov(Е_i, Е_j)=0 - были некоррелируемые. На практике это условие не всегда выполняется.

Автокорреляция определяется как корреляция между показателями упорядоченными либо в пространстве, либо во времени (временные ряды).

Под автокорреляцией случайных составляющих Е_i будем понимать корреляционную зависимость между Е_i и значением Е_i-l, где l- величина сдвига по номеру наблюдения; при l=1 будет автокорреляция Е в соседних наблюдениях.

Различают положительную и отрицательную автокорреляции. Положительную автокорреляцию рассмотрим на след примере.

Пусть изучается модель зависимости спроса у на мороженое (по ежемесячным данным на протяжении нескольких лет) от дохода х семьи. Будем предполагать, что состояние погоды является единственным фактором скрытым в возмущении Е. Тогда поле корреляции будет иметь след вид:

Графическое изображение автокорреляции выражается в данном примере в чередовании зон, где наблюдаемое значение у_i расположены выше предсказанной модели , и зон где наблюдаемое значение у находится ниже расчетного значения . Это характерно для положительной автокорреляции.

Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда последовательное наблюдение действует друг на друга по принципу маятника. Завышенное значение у_i по сравнению приводит к занижению значения у_i+1 по сравнению в последующем наблюдении и наоборот.

В экономических процессах автокорреляция встречается достаточно редко.

Последствия автокорреляции очень похожи с отрицательными последствиями гетероскедастичности:

1. оценки параметров перестают быть эффективными

2. оценки дисперсии становятся смещенными S²= M(S²)≠D(E_i)=σ²

3. стандарсные ошибки становятся заниженными m_bj, что приводит к завышению tстатистик t_bj, отсюда следует неправильный вывод о статистической значимости параметров.

40. Методы обнаружения автокорреляции.

Разработано несколько способов для обнаружения автокорреляции. Самым простым является графический метод. Остатки е_i=y_i+ является оценкой случайных составляющих Е_i, поэтому если корреляция ошибок регрессии =0, то она отсутствует и в остатках регрессии и это обнаруживается при построении графиков зависимости е_i от номера наблюдения i.

автокорреляция отсутствует

автокорреляция присутствует

автокорреляция присутствует

автокорреляция присутствует

Для обнаружения автокорреляции используют статистические тесты. Наиболее простым является тест Дарбина-Уотсона. Этот тест используется для обнаружения автокорреляции первого порядка, когда автокорреляция подчиняется уравнению Е_i=ρE_i-1+η_i (1) ρ- коэффициент корреляции

cov(η_i; η_j)=0

если ρ>0- положительная автокорреляция

если ρ<0- отрицательная автокорреляция

если ρ=0- автокорреляция отсутствует

Уравнение (1) поскольку оно связывает возмущения в соседних наблюдениях называют уравнением авторегрессии 1го порядка.

В тесте Дарбина-Уотсона тестируется гипотеза H₀: ρ=0

Для проверки этой гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона (DW=d)

DW=d= (2)

Оценкой коэффициента корреляции ρ является r, который вычисляется:

r= (3) n-велико

d≅2(1-r) (4)

Из формулы (4) видно, что если r=0, то d→2, если r=1, то d→0, если r=-1, то d→4.

Критическое значение для статистики DW, т.е. d_кр зависит от n, числа параметров модели р, х_i (значений объясняющих переменных), поэтому таблицы, аналогичные t-статистикам, F-статистикам здесь рассчитывать невозможно, но можно вычислить верхнюю d_в (d_u) и d_н(d_l)- нижнюю критическую границу статистики DW, которая находится α, р, n.

Схема критерия DW следующая:

1. по формуле (2) находится значение статистики DW d_наб

2. из таблицы находим d_в и d_н. Для облегчения находим строим следующий график.

зоны неопределенности

Недостатки теста DW:

1. этот тест нельзя использовать для моделей без свободных слагаемых b₀

2. данный метод проверяет наличие автокорреляции 1го порядка

3. уверенные результаты получаются при больших выборках

4. наличие зон неопределенности.