Расчет параболической зависимости, аппроксимирующей изменение мощности рудного тела

№ п/п	Исходные данные, м			Произведения
	xi		уi
1	2		0,7	4	8	16	1,4	2,8	0,49
2	6		1,3	25	125	625	6,5	32,5	1,69
3	7		2,6	49	343	2401	18,2	127,4	6,76
4	9		2,8	81	729	6561	25,2	226,8	7,84
5	12		2,0	144	1728	20738	24,0	288,0	4,00
6	14		1,8	196	2744	38416	25,2	352,8	3,24
7	16		1,0	256	4096	65536	16,0	256,0	1,00
8	19		0,4	381	6859	130321	7,6	144,4	0,16
Сумма	84		12,6	1116	18632	204612	124,1	1430,7	25,18
Среднее	10,5		1,575	139,5	2079	33076	15,51	178,8	3,148

Сравнение фактических y_i и теоретических у_т мощностей, рассчитанных по уравнению параболы, свидетельствует об удовлетворительном их совпадении (табл.3.3). Расхождения  между фактическими и теоретическими значениями позволяют найти дисперсию случайных отклонений 0,104.

Таблица 3.3

Сравнение фактической и расчетной (теоретической) мощности

№ п/п	Исходные данные, м			Расчетные величины
	xi		уi	yт, м	i
1	2		0,7	0,7	0,0	0,00
2	6		1,3	1,7	–0,4	0,16
3	7		2,6	2,2	0,4	0,16
4	9		2,8	2,4	0,4	0,16
5	12		2,0	2,3	–0,3	0,09
6	14		1,8	1,9	–0,1	0,01
7	16		1,0	1,4	–0,4	0,16
8	19		0,4	0,1	0,3	0,0,9
Сумма	84		12,6	12,7	–	0,83
Среднее	10,5		1,575	1,6	–	0,104

По формуле перехода от начальных моментов к центральным (2.14) найдем m₄₀ = 33076; m₃₀ = 2079; m₂₀ = 139,5; m₁₀ = 10,5; m₂₁ = 178,8; m₁₁ = 15,51; m₀₁ = 1,575; m₀₂ = 3,148; n = 8.

Далее вычислим дисперсию исходных значений

= 3,148 – 1,575² = 0,667,

откуда получим дисперсию, учтенную параболической зависимостью = 0,667 – 0,104 = 0,563, и по формуле (3.26) определим корреляционное отношение:

Корреляционное отношение близко к единице, следовательно, параболическая зависимость хорошо аппроксимирует эмпирические данные.

3.1.7. Выбор порядка полинома при аппроксимации

нелинейной зависимости

Многие нелинейные зависимости могут быть аппроксимированы полиномом:

, (3.30)

где m – порядок полинома; а₀, а₁, а₂, …, а_m – коэффициенты полинома.

Задача вычислений состоит в определении коэффициентов полинома с использованием метода наименьших квадратов. Чем выше порядок полинома, тем сложнее график, но при этом усиливается влияние случайных колебаний свойства, что отрицательно сказывается на надежности аппроксимации. Поэтому существует некоторый оптимальный порядок полинома, который наилучшим образом отражает исследуемую зависимость.

Критерием выбора наилучшего порядка полинома, как и любой другой аппроксимирующей функции, является дисперсия случайных отклонений фактических значений от теоретических с учетом степеней свободы k,

. (3.31)