3.2. Ідеал кільця. Факторкільце за ідеалом

Означення 3.18: ідеалом (двостороннім ідеалом) кільця (R, +, ·) називається множина IR, така, що виконуються наступні умови:

1) (I, +, ·) – підкільце кільця R;

2) aI, rR: arI, raI.

Означення 3.19: найменшим ( мінімальним ) ідеалом кільця R, що містить елемент аR, називається такий ідеал I кільця R, для якого виконуються наступні умови:

1) а I; 2) якщо L – також ідеал кільця R, який містить елемент а, то IL.

Приклади 3.20:

1) кільце цілих чисел Z є підкільцем поля раціональних чисел Q, але не є його ідеалом;

2) нехай R – комутативне кільце, аR. Тоді найменший ідеал цього кільця, який містить а, позначається (а) і визначається наступним чином:

(а) = {ra + ka: rR, kZ}, (3.1)

де вираз ka для додатного k означає k-кратне додавання елемента a, а для від’ємного k означає, відповідно, додавання k разів елемента (–a).

Доведемо, що множина (3.1) дійсно визначає найменший ідеал, що містить елемент аR.

Доведення: очевидно, що а(а) та що множина (3.1) є підкільцем кільця R. Покажемо, що (а) – ідеал. Нехай bÎR, tÎ(a). Покажемо, що btÎ(a). Оскільки t = sa + пa, пÎZ то bt = bsa + bпa = (bs + bп)a btÎ(a) (при r = bs + bп і k = 0). Далі доведемо, що (а) – найменший ідеал, який містить а. Тобто, якщо інший ідеал I містить а, то I(a). Нехай Iа. Оскільки I – ідеал, то I'ra, rÎR, I є також підкільцем, тому I'na, nÎ Z і I'(ra + na) IÉ(a).

Зауваження 3.21: якщо R – кільце з одиницею, то (а) = {ra, rÎR}. Якщо R – кільце без одиниці, то множина {ra, rÎR} теж буде утворювати ідеал, але, взагалі кажучи, він не буде містити елемент а.

Означення 3.22: ідеалом, породженим елементом аÎR, називається мінімальний ідеал (а), який містить а.

Означення 3.23: нехай R – комутативне кільце. Ідеал I називається головним ідеалом кільця R, якщо aÎR: I = (a).

Означення 3.24: кільцем головних ідеалів називається цілісне кільце R, в якому всі ідеали є головними, тобто для "I R (де І – ідеал) aR: I = (a).

Нехай I – ідеал кільця R. За означенням, (R, +) – абелева група, тому (I, +) є нормальною підгрупою (R, +). Отже, можна визначити операцію на множині класів суміжності за нормально підгрупою (I, +) групи (R, +) та побудувати факторгрупу . Далі буде показано, що у даній факторгрупі можна ввести також операцію множення, внаслідок чого стане факторкільцем.

Означення 3.25: класами лишків кільця R за ідеалом I є означені вище класи суміжності (відносно додавання) за ідеалом I як за нормальною підгрупою.

Клас лишків, що містить елемент аÎR і складається з елементів а + с, сÎI, будемо позначати [a] = a + I. Як було доведено раніше, елементи кільця а, b належать до одного класу лишків тоді і тільки тоді, коли (a – b)ÎI.

Означення 3.26: елементи кільця a, bÎR називаються конгруентними за модулем ідеалу I, якщо (a – b)ÎI. Конгруентність елементів позначається a  b (mod I).

Твердження 3.27: якщо a  b mod I, r  s mod I, то:

1. (a + r) º (b + s) mod I;

2. uÎR: au º bu mod I. (au – bu = (a – b)uÎI);

3. ra º sb mod I , (ar – sb = ar – br + br – bs = (a – b)r + b(r – s) º º 0 mod I ;

4. na º nb mod I.

На множині класів лишків кільця R за ідеалом I визначимо наступні операції:

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I; (3.2)

(a + I)(b + I) = ab + I. (3.3)

Теорема 3.28: множина класів лишків кільця R за ідеалом I з операціями (3.2) та (3.3) утворює кільце.

Доведення є аналогічним до доведення теореми 2.11. Відмінність полягає лише у тому, що у даному випадку додатково необхідно показати, що операція множення на класах лишків визначена коректно. Для цього необхідно довести наступне: якщо (a₁ + I) = (b₁ + I) та (a₂ + I) = (b₂ + I), то (a₁ + I) (a₂ + I) = (b₁ + I) (b₂ + I), тобто a₁ a₂ + I = b₁ b₂ + I.

За властивістю 2 класів суміжності, маємо: та . Тоді за означенням ідеалу, отже, a₁ a₂ + I = b₁ b₂ + I. Теорема доведена.

Означення 3.29: факторкільцем кільця R за ідеалом I (позначається R/I) називається множина класів лишків кільця R за модулем ідеалу I з операціями (3.2), (3.3).

Приклад 3.30: побудуємо факторкільце Z/(n). Нехай (n) – найменший ідеал кільця цілих чисел, що містить елемент n: (n) = {0,  n,  2n, …}; в цьому випадку [a]: = a + (n). Тоді Z/(n) = {[0], [1], …, [n – 1]}, де [і] = і + (п).

Теорема 3.31: факторкільце Z/(p) кільця Z за головним ідеалом, породженим простим р, є полем.

Доведення: оскільки Z/(p) є скінченним кільцем, то за теоремою 3.1, достатньо показати, що воно цілісне. Комутативність кільця очевидна. Одиничним елементом кільця є [1]. Покажемо відсутність дільників нуля: [a]·[b] = 0 [ab] = 0 ab º 0 mod p ab = kp для деякого kÎZ, тобто p ділить ab. Але p – просте, отже, p|a або p|b, тобто [a] = [0] або [b] = [0].

Наслідок 3.32: (Z_п, +, ·) – поле п – просте число.

Приклад 3.33: Z/(3) = {[0], [1], [2]} з операціями додавання та множення за модулем 3 є полем.

Зауваження 3.34: властивості вихідного кільця можуть не переноситися на факторкільце. Наприклад, Z є цілісним кільцем, а кільце Z/(n), де п не є простим, не є цілісним; в той же час кільце Z/(p) для простого р є не тільки цілісним кільцем, але й полем. Тобто факторизація кільця за ідеалом може як покращувати, так і погіршувати властивості кільця.