8.2. Алгоритми з оракулами

Означення 8.6: оракулом називатимемо функцію О: А^*В^*, де А, В – деякі скінченні алфавіти.

Алгоритмом з оракулом ^О називатимемо алгоритм в звичайному розумінні, але наділений додатковою операцією – зверненням до оракула.

Операція звернення до оракула полягає в тому, що алгоритм  передає оракулу О деяке слово ZÎА^* (запит до оракула), і отримує деяке слово О(Z) – відповідь оракула. Відповідь може істотно залежати від того, до якого саме оракула звертається алгоритм.

Час роботи алгоритму з оракулом оцінюється в припущенні, що звернення до оракула займає один крок. Але при цьому необхідно окремо враховувати час передачі запиту та час зчитування відповіді. Наприклад, найпростіше звернення: алгоритм  отримує wÎ {0, 1}^*; звертається до оракула О із запитом w і отримує відповідь О(w).

Означення 8.7: алгоритм з оракулом називають поліноміальним, якщо максимальний час роботи алгоритму (по всім можливим оракулам) обмежений деяким поліномом від довжини входу.

Означення 8.8: будемо говорити, що алгоритм з оракулом ^О зводить задачу ₁ до задачі ₂, якщо для будь-якого оракула О, який на кожному вході w видає розв'язок задачі Õ₂(w), алгоритм ^О видає розв'язок задачі Õ₁.

Якщо існує такий поліноміальний алгоритм , що задачу Õ₁ зводить до задачі Õ₂, то кажуть, що задача Õ₁ поліноміально зводиться до задачі Õ₂, а сам алгоритм називають поліноміальним зведенням Õ₁ до Õ₂.

Приклад 8.9: нехай алгоритм ₁ розв’язує задачу Õ₁(w) – для заданого w знаходить його функцію Ойлера, а алгоритм ₂ розв’язує задачу Õ₂(w) – для заданого w видає його розклад на прості множники (канонічний розклад). Тоді задача Õ₁ поліноміально зводиться до Õ₂ наступним алгоритмом.

Вхід: w;

запит до оракула: w;

відповідь оракула: (p₁, ₁), (p₂, ₂), ..., (p_r, a_r);

 = ;

вихід .

Зауваження 8.10: слід зазначити, що якщо w = pq, де p, q – невідомі прості числа, то справедливе і зворотне твердження: задача Õ₂ поліноміально зводиться до Õ₁.

Означення 8.11: якщо Õ₁ поліноміально зводиться до Õ₂, то говоримо, що задача Õ₁ не складніша за задачу Õ₂, а задача Õ₂ не легша за задачу Õ₁.

Означення 8.12: якщо Õ₁ поліноміально зводиться до Õ₂, а Õ₂ поліноміально зводиться до Õ₁, то такі задачі називаються поліноміально еквівалентними.

Аналогічно визначається імовірнісна поліноміальна звідність між задачами. Наступна теорема формулює деякі властивості поліноміальної звідності між задачами.

Теорема 8.13: нехай Õ₁, Õ₂, Õ₃ – деякі задачі.

Якщо Õ₁ поліноміально зводиться до Õ₂, а Õ₂ поліноміально зводиться до Õ₃, то Õ₁ поліноміально зводиться до Õ₃.

Якщо Õ₂ розв'язується за поліноміальний час і Õ₁ поліноміально зводиться до Õ₂, то Õ₁ також розв’язується за поліноміальний час.

Якщо Õ₁ імовірнісно поліноміально зводиться до Õ₂ з імовірністю помилки , і Õ₂ розв'язується за поліноміальний час, то Õ₁ розв'язується імовірнісним поліноміальним алгоритмом з імовірністю помилки .

Питання для самоконтролю

1. Поясніть різницю між подією та елементарною подією.

2. Які алгоритми називаються Монте-Карло алгоритмами? Лас-Вегас алгоритмами?

3. В чому полягає сутність задачі розпізнавання мови?

4. Чи можна визначити Лас-Вегас алгоритм розпізнавання мови з односторонньою помилкою?

4. Що таке оракул? Яка структура алгоритму з оракулом?