§3. Алгебраїчні системи з двома операціями. Ідеал кільця, Факторкільце за ідеалОм

3.1. Означення та основні властивості кілець

Досить часто алгебраїчна система наділена одразу двома операціями, які умовно називають "множенням" і "додаванням" та позначають відповідним чином.

Приклади 3.1: (R, +, ·) – множина дійсних чисел з операціями додавання і множення; (Z, +, ·) – множина цілих чисел з операціями додавання і множення; (М_п, +, ·) – множина квадратних матриць з операціями додавання і множення.

Нехай R – деяка множина.

Означення 3.2: Алгебраїчна система з двома операціями (R, +, ·), де , називається кільцем, якщо виконуються наступні умови:

1. (R, +) – абелева група;

2. (R, ·) – напівгрупа;

3. виконуються закони дистрибутивності:

а, b, c  R: a·(b + c) = a·b + a·c; (b + c)·a = b·a + c·a.

Операції + та · у кільці R називають операціями додавання та множення, відповідно (хоча множина R , взагалі кажучи, не є числовою і ці назви є досить умовними). Групу (R, +) називають адитивною групою кільця. Порядок елемента цієї групи, тобто порядок елемента кільця відносно операції додавання, називають адитивним порядком елемента. Нейтральний елемент у групі (R, +), називають нульовим елементом або нулем. Якщо у кільці існує нейтральний елемент відносно операції множення (тобто якщо (R, ·) є моноїдом), то такий елемент називають одиничним елементом, або одиницею кільця.

Слід зазначити, що часто під кільцем розуміють алгебраїчну систему, яка крім вимог у означенні 3.2 задовольняє ще одній вимозі, а саме наявності нейтрального елементу відносно операції множення. Ми будемо користуватись означенням 3.2 як більш загальним.

Твердження 3.3 (властивості елементів кільця): нехай (R, +) – кільце. Тоді виконуються наступні рівності:

1) аR: 0·а = а·0 = 0;

2) а, b R: (– а)·b = a·(–b) = – a·b.

Доведення. 1) За означенням нейтрального елемента, 0 + 0 = 0, тому 0·а = (0 + 0)·а = 0·а + 0·а; віднімемо 0·а від правої та лівої частин рівності; отримаємо 0·а = 0. 2) Достатньо показати, що (–а)·b є оберненим до a·b, тобто (–а)·b + а·b = 0. Дійсно, згідно закону дистрибутивності: (–а)·b + а·b = ((–а) + а)·b = 0·b = 0.

Аналогічно доводиться (–b)·а + а·b = 0. Твердження доведено.

Приклади кілець 3.4: всі алгебраїчні структури, наведені у прикладі 3.1, є кільцями.

Означення 3.5: нехай R – деяке кільце. Елемент а  R (а ≠ 0) називається дільником нуля, якщо існує такий елемент b  R (b ≠ 0), що а·b = 0 (тоді а – лівий дільник нуля) або b·a = 0 (тоді а – правий дільник нуля). Для комутативного кільця, очевидно, поняття лівого і правого дільника нуля співпадають.

Означення 3.6 (типи кілець):

• кільце (R, +, ·) називається кільцем з одиницею, якщо (R, ·) – моноїд;

• кільце (R, +, ·) називається комутативним, якщо операція множення у цьому кільці є комутативною;

• кільце (R, +, ·) називається кільцем без дільників нуля, якщо ;

• кільце (R, +, ·) називається цілісним кільцем, якщо воно є комутативним кільцем з одиницею та без дільників нуля;

• кільце (R, +, ·) називається полем, якщо (R/{0}, ·) є абелевою групою.

Зауваження 3.7: нульовий та одиничний елементи кільця є різними (див. твердження 3.3).

Приклади 3.8.

1. (R, +, ·) – множина дійсних чисел утворює поле відносно операцій додавання та множення;

2. (Z, +, ·) – цілісне кільце;

3. (Z_п, +, ·) – комутативне кільце з одиницею; воно містить дільники нуля, якщо п – складене число;

4. множина парних чисел з операціями додавання та множення утворює комутативне кільце без одиниці та без дільників нуля;

5. множина функцій RR утворює комутативне кільце з одиницею, в якому операції задані наступним чином:

(f + g)(x) = f(x) + g(х); (f ·g)(х) = f(x)·g(х);

6. (М_п, +, ·) – множина матриць розмірності пп з операціями додавання і множення матриць утворює некомутативне кільце з одиницею та з дільниками нуля;

7. множина поліномів над кільцем утворює кільце, причому властивості кільця визначаються властивостями кільця , а саме:

комутативне тоді і тільки тоді, коли комутативне;

кільце з одиницею тоді і тільки тоді, коли є кільцем з одиницею;

цілісне тоді і тільки тоді, коли є цілісним.

Означення 3.9: елемент а кільця з одиницею R називається оборотним, якщо існує такий елемент , що . Тоді елемент називають оберненим до елемента а і позначають . Оборотні елементи кільця також називають дільниками одиниці.

Означення 3.10: множина оборотних елементів кільця R з операцією множення називається мультиплікативною групою кільця R і позначається R*. Порядок елемента даної групи (тобто порядок елемента кільця відносно операції множення) називається мультиплікативним порядком елемента кільця.

Зауваження 3.11: дане означення можна вважати коректним лише якщо ми доведемо, що множина оборотних елементів кільця дійсно утворює групу відносно операції множення.

Доведення полягає у перевірці наступних простих тверджень:

1) одиничний елемент е завжди є оборотним, отже, е R*;

2) добуток двох оборотних елементів є оборотним елементом;

3) обернений до оборотного елемента також є оборотним.

Наступні дві теореми демонструють зв’язок між поняттями поля і цілісного кільця.

Теорема 3.12: нехай R – поле. Тоді R – цілісне кільце.

Доведення: достатньо довести, що в полі немає дільників нуля (тобто таких елементів а, bR, a,b ≠ 0, що a·b = 0). Нехай а, bR, a,b ≠ 0 і при цьому a·b = 0. Оскільки R – поле, то аR (a ≠ 0) a^–1, тому, домноживши обидві частини останньої рівності на a^–1, отримаємо: a^–1ab = еb = b = 0, звідки b = 0, що призводить до суперечності. Теорему доведено.

Зауваження 3.13: обернене твердження в загальному випадку невірне, але воно виконується у випадку скінченного кільця.

Теорема 3.14: нехай (R, +, ·) – скінченне цілісне кільце. Тоді (R, +, ·) – поле.

Доведення: нехай R – цілісне скінченне кільце. Позначимо  = {a₁, а₂,…, a_п} множину, що складається з n різних (ненульових) елементів кільця R; зазначимо, що до цієї множини належить, зокрема, нейтральний елемент е кільця R. Покажемо, що для будь-якого елемента цієї множини існує обернений. Виберемо довільний елемент a_і  0 і покажемо, що a_і^–1: a_і^–1 a_і = е. Для цього розглянемо множину a_і  {a_іa₁,…, a_іа_п}. Оскільки дане кільце не містить дільників нуля та замкнене відносно операції множення, то a_і . Покажемо, що . Для цього достатньо показати, що всі елементи множини є різними. Дійсно, якщо для деяких виконується a_іa_k = a_іа_l, то, внаслідок закону дистрибутивності, a_і(a_k – а_l) = 0, отже a_k – а_l = 0, внаслідок відсутності дільників нуля, тобто a_k = а_l, що призводить до суперечності.

Оскільки R – скінченне, a_і та , то a_і , а отже a_jR: a_ia_j = e . Внаслідок комутативності кільця, також виконується a_ja_i=е. Теорему доведено.

Означення 3.15: кількість елементів кільця називають порядком кільця. В залежності від порядку, кільце називається скінченним або нескінченним.

Зауваження 3.16: порядок скінченного кільця дорівнює порядку його адитивної групи.

Означення 3.17: (S, +, ·) є підкільцем кільця (R, +, ·), якщо виконуються наступні умови: SR і (S, +, ·) – кільце, де операції додавання і множення в S такі ж, як і в (R, +, ·).