Питання для самоконтролю

1. Яке значення приймає функція Ойлера, якщо її аргумент є простим числом?

2. Чи можна у означенні 2.3 сказати, що відображення f: H G називається автоморфізмом, якщо f – епіморфізм і H = G? Відповідь обґрунтуйте.

3. Дайте означення понять ядро гомоморфізму та образ гомоморфізму.

4. В чому різниця понять "факторгрупа" та "клас суміжності"?

5. Які автоморфізми групи називають зовнішніми?

Задачі до §2

1. Довести: якщо f: HG – гомоморфізм груп, то f(e_H) = e_G, f(a^–1) = = f(a)^–1.

2. Довести: якщо f: HG – ізоморфізм груп, то обернене до f відображення теж буде ізоморфізмом.

3. Довести: автоморфізми групи G утворюють групу відносно операції композиції.

4. Довести: ядро гомоморфізму є нормальною підгрупою.

5. Довести: два елементи групи належать одному лівому класу суміжності за підгрупою тоді і тільки тоді, коли їх ліва різниця (відносно групової операції) належить даній підгрупі. Сформулювати та довести аналогічне твердження для правих класів суміжності.

6. Довести: центр групи – нормальна підгрупа.

7. Нехай G – деяка група, a, bG. Довести: f_a = f_b  a^–1bC, де С – центр групи G, f_a  та  f_b – внутрішні автоморфізми.

8. Довести: кількість різних внутрішніх автоморфізмів скінченної групи G дорівнює числу класів суміжності групи G за центром C, тобто .

9. Навести приклад автоморфізму групи, що не є внутрішнім.

10. Нехай p – просте число. Довести:  (p) = p – 1;  (p^s) = p^s(1 – p^–1), де  – функція Ойлера.

11. Нехай m, n – різні прості. Довести:

 (mn) =  (m)  (n) = (m – 1)(n – 1).

12. Знайти  (1155).

13. Довести: якщо для деякої групи G виконується ïGï = p^s, де p – просте число, то порядок центру групи G ділиться на p.

14. Довести малу теорему Ферма: для простого p виконано a^p ≡ a (mod p).

15. Довести теорему Вільсона: для простого p виконано (p – 1)! ≡ – 1 (mod p).

16. Довести: будь-яка циклічна група є абелевою.

17. Нехай G – скінчена група, Н – її підгрупа. Довести: кількість елементів у кожному класі суміжності за підгрупою Н ділить порядок групи G.

18. Нехай G – деяка група, a, b  G. Довести: елементи a, b належать одному класу спряженості тоді і тільки тоді, коли існує такий елемент gG, що ga = bg.

19. Довести: відображення f: HG є ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли це відображення є епіморфізмом і його ядро складається з єдиного елементу (цей елемент є одиничним елементом групи H). Чи може ядро гомоморфізму бути порожньою множиною?

20. Довести: якщо відображення f: HG є гомоморфізмом, то у кожного елемента, що належить Im f, кількість прообразів однакова; вона дорівнює кількості елементів ядра цього гомоморфізму.

21. Довести, що будь-яка нескінчена циклічна група ізоморфна групі цілих чисел з операцією додавання.

22. Довести, що відношення спряженості елементів у групі є відношенням еквівалентності.

23. Нехай f: HG – гомоморфізм груп, , . Довести: ділить т. Зокрема, якщо f – ізоморфізм, то = .

24. Нехай H – нормальна підгрупа групи G, . Довести: для будь-якого виконується .

25. Нехай група G складається з матриць: , , , , , , а груповою операцією є множення матриць, причому всі дії з матричними елементами виконуються за модулем 2. Виконайте наступні завдання.

25.1. Побудувати таблицю Келі для групи G.

25.2. Знайти порядки всіх її елементів, перевірити виконання наслідку 2 з теореми Лагранжа.

25.3. Знайти центр групи.

25.4. Розбити групу на класи спряженості та визначити їх потужності (тобто кількості елементів у кожному класі). Перевірити виконання рівняння класів спряженості (з § 2).

25.5. Для всіх елементів групи знайти N(a_і).

25.6. Чи буде група G циклічною? Знайти всі її циклічні підгрупи.

25.7. Знайти всі підгрупи даної групи. Для кожної підгрупи знайти її класи суміжності, обчислити індекс підгрупи та перевірити виконання теореми Лагранжа.

25.8. На прикладі однієї з підгруп перевірити виконання властивостей класів суміжності.

25.9. Знайти всі нормальні підгрупи даної групи.