2.3. Внутрішні автоморфізми групи та спряжені елементи

Означення 2.16: внутрішнім автоморфізмом групи G називається відображення f_а: G G, побудоване за правилом: f(g) = aga^–1, для деякого aÎG. Автоморфізми групи, які не є внутрішніми, інколи називають зовнішніми.

Кожен елемент групи aÎG задає деякий внутрішній автоморфізм цієї групи, проте не обов’язково різні елементи задають різні автоморфізми.

Означення 2.17: нехай G – група, gÎG, S G.

Елемент g називають спряженим з елементом hÎG, якщо існує такий елемент aÎG, що h=aga^–1. Очевидно, що при цьому , тобто елемент h також є спряженим з елементом g (тоді кажуть, що елементи h та g спряжені).

Означення 2.18: клас спряжених з а елементів, або клас спряженості групи G, який містить елемент а – це множина всіх елементів, спряжених з aÎG.

Відношення спряженості у групі G є відношенням еквівалентності на множині G (доведіть це самостійно), тому класи спряженості розбивають G на множини, які або співпадають, або не перетинаються, як і класи суміжності.

Множину P називають спряженою з множиною S, якщо існує такий елемент aÎG, що P = aSa^–1 (тобто P = {asa^–1: sÎS}). У цьому випадку множини S та Р називають спряженими.

2.4. Нормалізатор множини. Центр групи

Нехай G – група, S G.

Означення 2.19: нормалізатором множини S G називається множина

N(S) = {aÎG: aSa^–1 = S}.

Приклад 2.20: нормалізатор нормальної підгрупи Н – це вся група G.

Теорема 2.21: 1) N(S) – підгрупа G;

2) : aN(S) = bN(S) aSa^–1 = bSb^–1, тобто два класи суміжності за нормалізатором множини рівні тоді й лише тоді, коли рівні відповідні спряжені множини, а різним класам суміжності за підгрупою N(S) відповідають різні множини, спряжені з S (інакше кажучи, існує бієкція між різними (лівими) суміжними класами аN(S) за підгрупою N(S) та різними множинами aSa^–1, спряженими з S).

Доведення: твердження 1) теореми доводиться безпосередньою перевіркою. Доведемо твердження 2). Покажемо, що рівності aN(S) = bN(S) та aSa^–1 = bSb^–1 рівносильні. Дійсно, домножаючи всі елементи рівних множин (у другій рівності) на однаковий елемент, та скориставшись властивістю 2 класів суміжності (т. 1.3), отримаємо наступні рівносильні рівності:

aSa^–1 = bSb^–1 S = a^–1bSb^–1a = (b^–1a)^–1S(b^–1a)

b^–1aÎN(S) bN(S) = aN(S),

що й треба було довести.

Означення 2.22: центром групи G називається множина

C = {cÎG: "aÎG, ca = ac }.

Інакше кажучи, центр групи – це множина всіх таких елементів даної групи, які комутують з усіма її елементами.

Твердження 2.23: центр групи G є нормальною підгрупою.

Рекомендується довести дане твердження самостійно.

Теорема 2.24 (рівняння класів спряженості): нехай |G| <  . Тоді

|G| = |C| +  , (2.2)

де n_i – потужності класів спряженості групи |G|, які містять не менше двох елементів (n_i 2), і n_i є дільниками |G|.

Доведення: як було зазначено раніше, відношення спряженості є відношенням еквівалентності, тому воно розбиває групу на класи спряженості, що не перетинаються. Тому кількість елементів у групі дорівнює сумі кількостей елементів у цих класах спряженості. Очевидно, що клас спряженості деякого елемента а містить лише цей один елемент тоді і тільки тоді, коли аÎС, що доводить рівність (2.2) і той факт, що n_i 2. Покажемо, що n_i є дільниками |G|. Нехай n_i – кількість елементів, спряжених з деяким елементом аÎ G; тоді, за теоремою 2.21, кількість (різних) спряжених з а елементів дорівнює кількості (різних) лівих класів суміжності за підгрупою N(а), тобто індексу підгрупи N(а) у групі G. За теоремою Лагранжа (1.25), індекс підгрупи є дільником порядку групи G. Теорему доведено.